Полный момент импульса атома и тонкая структура

Открытие спина электрона привело к осознанию того, что электрон в водородонодобиом ионе испытывает специфическое воздействие, названное спин-орбитальным взаимодействием.

Последовательно снии-орбитальное взаимодействие описывается лишь в релятивистской квантовой механике, основанной на релятивистском уравнении Дирака. Одиако и в нерелятивистской квантовой механике возможен учет этого взаимодействия, что и является предметом настоящего подраздела.

Начнем с введения полного момента импульса J как суммы орбитального момента импульса и спина электрона

Оператор Л действует на спиноры (4.339) таким образом, что оператор L преобразует компоненты спинора по правилу (4.344),

а оператор S переставляет компоненты спинора в соответствии с соотношениями (4.345) и (4.346). Характер действия операторов L и S делает очевидной их взаимную коммутативность.

Нетрудно показать, пользуясь коммутационными соотношениями, которым удовлетворяют проекции операторов L и S. что н проекции полного момента импульса J удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, из чего немедленно следует, что операторы J2 и J- взаимно коммутативны (см. раздел 4.5).

Следовательно, процедура квантования квадрата орбитального момента импульса дословно переносится на onejKimop квад

рата полного момента импульса, откуда следует, что собственными значениями оператора Л2 будут величины h2j(j + 1), где j — максимальное значение проекции оператора Jz на ось z. При этом собственные значения rrijh оператора ./- должны отличаться друг от друга на h, изменяясь от —jh до +jh, что означает, что состояние с заданной величиной j имеет (2j + 1)-кратное вырождение. Однако в отличие от целочисленного орбитатьного квантового числа /, квантовое число полного момента электрона (называемое также онутренним коаптооым числом) в водо- родоподобном ионе может принимать лишь полуцелые значения

j ~ 3’ §’ * • •

Докажем последнее утверждение, для чего дополнительно примем во внимание, что каждый из операторов Л2 и Л, взаимно коммутативен еще и с операторами S2 и L2 (поскольку оператор S2 пропорционален единичному оператору, то он коммутирует вообще со всеми операторами; а оператор L2 коммутирует с оператором J2 = L2 + 2LS + S2, гак как L коммутирует как сам с собой, так и с S). Следовательно, все четыре оператора Л2, Л2, I/ и S“ должны иметь общие собственные полные волновые функции.

Найдем сначала явный вид собственных полных волновых функций оператора Л-, для чего составим соответствующее уравнение на собственные значения:

где — волновые функции, зависящие от г, д и р.

Уравнение (4.364) распадается на два уравнения первого порядка, решение которых затруднений не вызывает:

где единственное требование к волновым функциям ф±(г, д) заключается в том, чтобы в целом спинор (4.3G5) удовлетворял бы нормировочному условию (4.342).

Перепишем спинор (4.365) в виде

где ранее введенные соотношениями (4.358)—(4.359) спиноры ± есть собственные функции оператора Эг.

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (4.366), являющееся произведением спинора х+ и волновой функции бесспи- новой частицы, которая, разумеется, должна быть однозначно определена во всем пространстве, откуда следует, что величина rrij — ^ должна быть целым числом тгц, чтобы изменение угла на 2п не изменяло бы фазу волновой функции. Но волновые функции вида ip+(r,'d)eintl'p, как следует из (4.203), являются собственными волновыми функциями оператора Lz, так что по смыслу квантовое число пц — это магнитное квантовое число, изменяющееся в пределах между —/ и +/ в состояниях с опреде- ленными значениями I/ и Lz.

Таким образом, окончательно имеем, что первое слагаемое спинора (4.366) соответствует состоянию с определенной проекцией спина +7jh и определенной проекцией орбитального момента импульса пцН. причем

Следовательно, возможные значения rrij в водородоподобном ионе оказались i юлу целы м и.

Аналогично получается, что второе слагаемое в правой части спинора (4.366) соответствует состоянию с определенной проекцией спина — ^h и определенной проекцией орбита.!ьного момента импульса rri'fi. так что

Собственные функции оператора Jz оказались линейными комбинациями полных волновых функций, каждая из которых по отдельности является общей собственной функцией операторов Sz и Lz. В частности, при фиксированной величине rrij имеем гп = пц 4- 1. Следовательно, в состоянии с определенными значениями наблюдаемых J2, Jz. L2 и S2 наблюдаемые Lz и Sz определенного значения, вообще говоря, не имеют (исключением оказатись «-состояния водородоподобного иона).

Даже не конкретизируя вида функций ip±(r, д). проделанный анализ позволяет сделать следующие выводы: состояние электрона в водородоподобном ионе с учетом существования у элсктрона спина определяется главным квантовым числом п (возникающим при квантовании радиальной части уравнения Шрёдин- гера), целым орбитальным квантовым числом / (определяющим квадрат орбитального момента импульса), полуцелым внутренним квантовым числом j (определяющим квадрат полного момента импульса) и полу целой величиной проекции mj полного момента импульса на произвольную ось (обычно выбираемую за ось z).

При / = 0, что соответствует .s-состоянию водородоподобного иона, внутреннее квантовое число принимает единственное (и наименьшее) значение j — ^. Анализ показывает, что в таком случае пространственная часть полной волновой функции сферически симметрична, то есть при nij = ^ в тождественный нуль обращается ф-(г, д), а ф+ = ?ф+(г); при nij = — ^ в тождественный нуль обращается ф+(г, #), а ф- = ф-(г).

При I > 0 внутреннее квантовое число может принимать два значения

соответствующих параллельности и анти параллельности орбитального момента импульса и спина электрона.

Из (4.369) следует, что величине j = ^ может соответствовать и ^-состояние водородоиодобного иона, и p-состояние. При этом дальнейший анализ, здесь не проводимый, показывает, что при I > 0 функции ф+(г,д) и ф-(г, д) становятся линейно-зависимыми, и ни одна из них не может обратиться в тождественный нуль. Последнее означает, что вклад в состояние с определенной проекцией ni j в силу вида решения (4.3GG) и соотношений (4.3G7)—(4.3G8) дают два состояния с разными значениями Lz и Sz.

Например, в p-состоянии при j = ^ и nij = ^ соответствующее измерение может иметь два разных исхода: либо будет обнаружено, что проекция орбитального момента Lz = h, а проекция спина Sz — —h, либо будет обнаружена другая пара значений Lz = 0 и Sz = причем второй исход вдвое менее вероятен, чем первый.

Таким образом, в состояниях водородоподобного иона с I > О проекции орбитального момента и спина по отдельности не имеют определенных значений.

При заданной величине главного квантового числа п орбитальное квантовое число I может принимать п значений от 0 до п — 1. Учитывая, что число разных значений mj есть 2 j + 1, получим, что если j = I + то число разных проекций nij составит 21 -I- 2 значений, а при j = I — А число разных проекций 77?.j будет 2/, всего же при заданном / число разных состояний водородоподобного иона будет равно 4/ 4- 2. Следовательно, при фиксированном п число разных состоянии будет определяться величиной

в чем легко убедиться с помощью математической индукции.

Итак, учет существования спина электрона привел к выводу, что состояния водородоиодобиого иона характеризуются собственными значениями четырех операторов J~, J-, L2 и S2.

Исторически в спектроскопии для характеристики состояния водородоподобного иона стали использовать числа 71, /, j и 2.s+ 1. При этом последнюю четверку чисел заменяют символической записью, сначала записывая в виде числа главное квантовое число 71, вслед за которым пишут одну из ранее введенных[1] букв, заменяющих значение /; у этой буквы справа внизу в качестве индекса указывают значение внутреннего квантового числа j (принимающее при заданной величине / два значения j = I ± тт), а сверху слева пишут численное значение 2.s + 1. Например, основное состояние водородоподобного иона

обозначают как 12si, что произносится как "один дублет .s одна

2

вторая".

В качестве примера приведем обозначения трех состояний

водородоподобного нона, соответствующих п = 2: 22si, 22р

2 2

и 22рз. Следует понимать, что каждая символическая запись со-

2

ответствует разным состояниям, отличающимся проекцией nijh полного момента импульса на произвольную ось (число разных проекций 2j + 1). При I > 1 все они не являются состояниями с определенной проекцией спина и определенной проекцией орбитального момента импульса. Если же желают полностью определить состояние символьной записью, то справа вверху к букве приписывают значение ??77.

Состояния многоэлектронных атомов и ионов определяются полным моментом импульса электронной оболочки и соответствующим внутренним квантовым числом J (при этом число эквидистантных проекций nijh полного момента импульса электронной оболочки на любое направление есть 2J-I-1), квадратом полного орбитального момента электронной оболочки и соответствующим полным орбитальным квантовым числом L, и квадратом полного спина электронной оболочки и соответствующим квантовым числом S. Сокращенно состояния электронной оболочки многоэлектронных атомов и ионов определяют теми же символами, что и состояния водородоподобного иона, только буквенные символы состояний пишут заглавными буквами.

Например, основное состояние атома калия обозначается как 42 . Далее будем использовать большие буквы и для обозначения состояний водородоподобного иона, поскольку применительно к водородоподобному иону полный момент импульса электрона является в то же время и полным моментом импульса электронной оболочки. То же касается и орбитального момента импульса, и спина электрона.

Магнитный момент водородоподобного иона и объяснение расщепления атомных пучков в эксперименте Штерна-Герлаха

Разберем вопрос о магнитном моменте водородоподобного иона как функции его состояния. Для этого введем оператор полного магнитного момента

где были учтены определение магнетона Бора (4.319) и связи между операторами моментов импульса и магнитных моментов

(4.317) и (4.329).

Строгое рассмотрение вопроса в рамках релятивистского уравнения Дирака показывает, что в квазистационарных состояниях, являющихся общими собственными состояниями четырех операторов J2, J2, L2 и S2 определенное значение имеет лишь проекция Mj полного магнитного момента на направление полного момента импульса[2]**[2].

После этого замечания само вычисление проекции Mj выполнить нетрудно. Перед вычислением предварительно отметим, что в обсуждаемых состояниях водородоподобного иона имеет определенное значение величина LS, что следует из тождества

откуда с учетом итогов квантования операторов J~, Lr и S“ получаем:

Теперь, проектируя полный магнитный момент М на полный момент импульса J, получим некоторый вектор М./, коллинеар- ный полному моменту импульса, поэтому можно записать, что

где подлежащий определению безразмерный коэффициент д называется множителем Ланде, или ^-фактором185.

Величина МЛ в рассматриваемых состояниях водородоподобного иона имеет определенное значение, вычисление которой осуществляется с помощью тождества

С учетом (4.372) получаем, что

Поскольку также

[где было использовано соотношение (4.373)], то из сравнения последнего выражения с (4.374) следует формула Ланде

Впервые ^-фактор ввел в 1921 году немецкий физик А. Ланде.

Так как полный момент импульса имеет 2J 4- 1 разных проекций mjh на ось 2, то и проекции магнитного момента атома на ось г будут в силу (4.373) иметь 2J Т 1 разных значений

В отсутствие магнитного ноля состояния с разными проекциями магнитного момента Mz по энергии вырождены, а в магнитном поле вырождение снимается, причем оказывается, что поведение атома в неоднородном магнитном поле хорошо описывается движением локализованного волнового пакета, на который действует сила (4.324). В таком случае будет происходить (2.7 + 1)-кратное расщепление пучка. В общем случае полный момент импульса электронной оболочки атома может иметь как целые, так и полуцелые значения, поэтому пучки атомов разных элементов расщепляются как на четное, так и на нечетное число компонент. Изучение расщепления атомного пу чка в магн итном поле есть средство экспериментального определения как внутреннего квантового числа ./, так и g-фактора.

Измерение величин полного момента импульса электронной оболочки атомов показало, что никакой периодической зависимости внутреннего квантового числа J от порядкового номера элемента не существует.

Например, атомы второго "периода" таблицы элементов Li, Be, В. С, N, О, F, Ne, находясь в наинизшем энергетическом состоянии, в магнитном поле расщепляются на 2,1,2,1,4,5,4,1 пучков соответственно (откуда нетрудно вычислить .7). А, например, лантаноиды La, Се, Рг, Ncl, Pm, Sm, Eu, Ga, Tb. Dy, Ho, Er, Tu, Yb имеют 4, 9, 10, 9, G, 1, 8, 5, 1G, 17, 1G, 13, 8, 1 возможных проекций магнитного момента электронной оболочки на направление магнитного поля.

  • [1] 183См. стр. 233.
  • [2] ^Классической аналогией подобного результата является прецессия вектора М вокруг вектора Л. при которой определенное значение сохраняетлишь проекция М./ вектора М на J.
  • [3] ^Классической аналогией подобного результата является прецессия вектора М вокруг вектора Л. при которой определенное значение сохраняетлишь проекция М./ вектора М на J.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >