Задачи к главе 4

  • 4.1. Доказать, что оператор декартовой координаты х равен своему комплексно-сопряженному оператору х*.
  • 4.2. Доказать, что оператор, сопряженный произведению двух линейных операторов F и G, равен произведению сопряженных операторов, взятых в обратном порядке:
  • 4.3. Учитывая результат предыдущей задачи, доказать, что квадрат самосопряженного оператора также является самосопряженным оператором.
  • 4.4. Доказать, что сумма и разность самосопряженных операторов — самосопряженные операторы.
  • 4.5. Доказать, что гамильтониан Н вида (4.74) — самосопряженный оператор.
  • 4.6. Доказать, оператор вида axfix + (1 — сх)рхх (а — произвольное вещественное число) будет самосопряженным только при а = 1/2.
  • 4.7. Доказать, что произведение эрмитовых операторов является самосопряженным оператором, если перемножаемые операторы взаимно коммутативны.
  • 4.8. Убедившись, что волновая функция одночастичной системы

правильно нормирована, вычислить среднюю координату частицы в этом состоянии.

  • 4.9. Доказать, что нормировка волновой функции от времени не зависит, то есть что если Ф есть решение из L2 временного уравнения Шредингера для произвольной одночастичной системы, то интеграл f |Ф|2
  • 4.10. Доказать, что операторы декартовых проекций момента импульса Ьх, Ьу и Lz эрмитовы.
  • 4.11. Доказать, что гамильтониан одночастичной системы в потенциальном поле, обладающем сферической симметрией, взаимно коммутативен с оператором четности (4.54).
  • 4.12. Доказать, что оператор четности взаимно коммутативен с операторами квадрата момента импульса и проекции момента импульса на любое направление в пространстве.
  • 4.13. Вычислить средние потенциальную и кинетическую энергии электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии l.s и в возбужденном состоянии 2s. Сравнить результаты.
  • 4.14. Доказать, что для заряженного линейного гармонического осциллятора оптически разрешены лишь переходы между соседними энергетическими уровнями.

Указание: выписав матричный элемент координаты .т, воспользоваться тождеством (4.102).

  • 4.15. Вычислить излучательное время жизни 2р-состояния атома водорода.
  • 4.16. Решить задачу на собственные значения оператора <тг, определенного соотношением (4.346).
  • 4.17. Матрицы Паули определены соотношением (4.346).
  • а) Показать, что квадраты всех трех матриц Паули равны единичной матрице.
  • б) Показать, что единственное собственное значение оператора квадрата спина есть величина 3/г2/4 .
  • в) Показать, что любой спинор является собственным спинором оператора квадрата спина. Иными словами, любое состояние одночастичной электронной системы имеет определенную величину квадрата спина, равную ЗЛ2/4.
  • 4.18. Указать на рисунке 4.50 все разрешенные переходы, дающие вклад в линию На спектра испускания атомарного водорода. Убедиться, что Наиния является квинтетом.
  • 4.19. Определить с помощью формулы (4.380) расщепление уровня энергии основного состояния атома водорода 154 в одно-

родном магнитном поле Bz.

  • а) Сформулировать в виде неравенства условие малости величины магнитного поля Bz, чтобы формула (4.380) была справедлива для расчета расщепления уровней 2Р± и 2Рз в магнитном поле.
  • б) Определить расщепление уровней энергии атома водорода в слабом магнитном ноле в состояниях и 2Рз.
  • г) Определить расщепление в слабом магнитном поле спектральных линий 2Pi_ —> IS и 2Рз —> IS спектра испускания водорода.

4.20. Определить термы основного состоянии атомов третьего периода таблицы элементов. При определении величины J в неясных случаях заглянуть в ответ. Найти число, на которое расщепляется пучок атомов в неоднородном магнитном поле.

Отпет: Na (2Si), Mg ('So), A1 (2Pi), Si (3P0), P (4Si), S (3P2), Cl (2P§), Ar ('So).

.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ