Вывод выражения для div E в декартовой системе координат.
Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис. 19.8, б). Для нахождения истока вектора Ё из данного объема составим разность потоков, выходящих из данного объема и входящих в него, и разделим разность потоков на объем параллелепипеда, равный dxdydz.
Левую грань площадью dxdz пронизывает только одна составляющая вектора Ё, т. е. составляющая ] Еу, остальные (1 Ех и к Ег) скользят по грани. Поток вектора Ё, входящий в эту грань, равен Еу dxdz.
Так как Ё есть функция координат, то и ее составляющие также являются функциями координат. Правая грань площадью dxdz отстоит от левой грани на расстоянии d v. Проекция вектора Е на ось у равна дЕу дЕу
Е +—- dy, где ———скорость изменения Ev в направлении оси у;
'дуду '
дЕу
—— dy— приращение «игрсковой» составляющей напряженности поля
ду
на пути dy.
Поток, выходящий из правой грани площадью dx dz, равен (Ev + дЕ дЕу
+ —— dy)dxdz. Исток через грани площадью dx dz равен —-dxdydz.
ду ду
Таким же путем получим разность потоков через грани площадью dy dz:
—dx dy dz.
dx
Разность потоков через грани dx dy (верхнюю и нижнюю стенки
^ р]
объема) равна —- dx dv dz.
Gz
Для нахождения div ? сложим разности потоков через все грани и поделим сумму на объем параллепипеда dxdydz, получим
