Вывод выражения для div E в декартовой системе координат.

Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис. 19.8, б). Для нахождения истока вектора Ё из данного объема составим разность потоков, выходящих из данного объема и входящих в него, и разделим разность потоков на объем параллелепипеда, равный dxdydz.

Левую грань площадью dxdz пронизывает только одна составляющая вектора Ё, т. е. составляющая ] Еу, остальные (1 Ех и к Ег) скользят по грани. Поток вектора Ё, входящий в эту грань, равен Еу dxdz.

Так как Ё есть функция координат, то и ее составляющие также являются функциями координат. Правая грань площадью dxdz отстоит от левой грани на расстоянии d v. Проекция вектора Е на ось у равна дЕу дЕу

Е +—- dy, где ———скорость изменения Ev в направлении оси у;

'дуду '

дЕу

—— dy— приращение «игрсковой» составляющей напряженности поля

ду

на пути dy.

Поток, выходящий из правой грани площадью dx dz, равен (Ev + дЕ дЕу

+ —— dy)dxdz. Исток через грани площадью dx dz равен —-dxdydz.

ду ду

Таким же путем получим разность потоков через грани площадью dy dz:

—dx dy dz.

dx

Разность потоков через грани dx dy (верхнюю и нижнюю стенки

^ р]

объема) равна —- dx dv dz.

Gz

Для нахождения div ? сложим разности потоков через все грани и поделим сумму на объем параллепипеда dxdydz, получим

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >