Использование оператора набла для записи операции взятия дивергенции.

Ранее было показано, что умножение оператора V на скалярную функцию равносильно взятию градиента от этой скалярной функции. Покажем, что скалярное умножение оператора V на векторную функцию, например, на функцию ?, означает взятие дивергенции от этой векторной функции.

Произведение V ? можно записать так:

Правые части (19.22) и (19.23) равны, следовательно, должны быть равны и левые. Поэтому V? = div?, т. е., действительно, умножение оператора V на вектор ? означает взятие дивергенции от этого вектора.

Выражение div E в цилиндрической и сферической системах координат.

Без вывода запишем выражение div Ё:

в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат:

Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа.

Эти уравнения являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что ? = -grad(p. В то же время согласно теореме Гаусса (19.21) div? = рск6/е,.

’> Почленно умножаем слагаемые первой скобки на слагаемые второй скобки. Учитываем, что скалярное _произведение одноименных_ ортов, равно единице, а разноименных — нулю: i 1 = j j = к к -1 1 cosO0 = 1, / j = 7 к = j к = 1 • 1 - cos90° = 0.

Подставим в (19.21) Е из (19.6), получим Вынесем знак минус за знак дивергенции:

Вместо grad(p запишем его эквивалент V ср; вместо div напишем V . Тогда

или

Уравнение (19.26) называют уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда рС50б = 0, называют уравнение Лапласа. Уравнение Лапласа записывают так:

Оператор V2 = div grad называют оператором Лапласа, или лапласианом, и иногда обозначают еще символом Д. Поэтому можно встретить и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем V2 <р в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей V и V ср запишем в развернутом виде:

Произведем почленное умножение и получим

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат записывают следующим образом:

Приведем без вывода выражения V <р: в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат:

Уравнение Пуассона выражает связь между частными производными второго порядка от ср в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой же точке поля. В то же время потенциал в какой- либо точке поля зависит от всех зарядов, создающих поле, а не только от значения свободного заряда, находящегося в данной точке. Уравнение Пуассона применяют при исследовании потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1812 г.

Уравнение Лапласа (1782 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии — для описания электрических полей.

Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде можно записать решение уравнения Пуассона.

Положим, что в объеме V есть объемные (р), поверхностные (а) и линейные (т) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов: р dV, a dS, т dl dV — элемент объема; dS — элемент заряженной поверхности; dl— элемент длины заряженной оси.

Составляющая потенциала dip в некоторой точке пространства, удаленной от р dV на расстояние /?, в соответствии с формулой (19.19) равна

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, если рассматривать их как точечные, определим аналогичным образом.

Полное значение <р представим как сумму (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

В формуле (19.31a) p, а и т есть функции радиуса R. Практически формулой (19.31а) пользуются сравнительно редко, так как распределение а по поверхности, т по длине и р по объему зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчетов неизвестно. Интегрирование произвести затруднительно, так как обычно неизвестно, какова зависимость р, а и т от радиуса R (см. приложение Л).

При использовании формулы (19.31а) предполагается, что потенциал на бесконечности равен нулю и что заряды, создающие поле, распределены в ограниченной (не бесконечно протяженной) области (иначе интеграл может оказаться расходящимся).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >