двадцать четвертая РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОДНОРОДНОМ И ИЗОТРОПНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ И В ПОЛУПРОВОДЯЩИХ И ГИРОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Распространение электромагнитных волн в однородном и изотропном диэлектрике.

Проводимость у идеального диэлектрика равна нулю. Поэтому в первом уравнении Максвелла (22.1) первое слагаемое правой части (8 = у Е) отсутствует, и уравнения Максвелла для диэлектрика получают следующий вид:

Для однородных и изотропных диэлектриков ца = const и условие div р, Я = 0 равносильно условию div Я = 0.

Решим совместно уравнения (24.1) и (24.2). С этой целью возьмем ротор от уравнения (24.1). Получим

Так как div# = 0, той grad div Я = 0. В свою очередь rot? на основании второго уравнения Максвелла равен -j м ца Я. Поэтому

или

Произведение еа ца измеряется в секундах в квадрате на метр в квадрате (с22):

т. е. еа ра имеет размерность, обратную размерности квадрата скорости v, и потому можно принять еаца =l/v2. После введения такого обозначения уравнение (24.3а) получает следующий вид:

Для плоской линейно поляризованной электромагнитной волны, распространяющейся в направлении оси z в соответствии с гл. 23, можно

Так как для плоской волны Н зависит только от координаты z и не зависит от координат х и у, то уравнение

приобретает следующий вид:

Уравнению (24.5) соответствует характеристическое уравнение р2 = -(o>/v)2, корни которого Pi = j to/v и p2=-j

Общее решение уравнения (24.4)

где С, и С2— комплексные коэффициенты, зависящие от граничных условий. Как и всякое комплексное число, их можно представить в показательной форме: С| = С, eJ и С j = С2 еу '*'?.

СО

— J 2

Слагаемое С2 е ” представляет собой падающую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z, а слагаемое

J — г

С, е v — отраженную волну, распространяющуюся в отрицательном

направлении оси г. д

Напряженность электрического поля Е найдем из уравнения (24.1):

I

Как следует из формулы (23.10), для плоской волны

Поэтому

Величину

называют волновым сопротивлением диэлектрика. Волновое сопротив-

ление является действительным числом (измеряется в омах):

Оно не зависит от угловой частоты колебаний со. Для вакуума ег = 1 и = 1, поэтому 2г = 377 Ом. Следовательно,

где

Присутствие единичного орта оси х (орта Г) в формуле (24.7) свидетельствует о том, что вектор напряженности электрического поля направлен по оси х.

Таким образом, в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике, как и для проводящей среды, ? и Я взаимно перпендикулярны: Я направлена по оси у, ? — по оси х.

Запишем выражения для мгновенных значений Я и ? падающей волны. Чтобы получить мгновенное значение падающей волны Я, необхо-

— Z

димо комплекс И = С2 e7 V* е v умножить на е7“' и от произведения взять мнимую часть. В результате получим

аналогично

По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды Ей Н остаются неизменными, т. е. затухания волны не происходит, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.

Рис. 24.1

На рис. 24.1, о изображены пространственные кривые, представляющие собой графики мгновенных значений Я и ?. Эти графики построены по уравнениям (24.8) и (24.9) для момента времени со / -t- vj/n = 0. Для

более позднего момента времени, например для со t + уп = 90°, аналогичные кривые изображены на рис. 24.1, б.

Как видно из рис. 24.1, а и б, вектор Ё при движении волны остается направленным вдоль оси jr, а вектор Н — вдоль оси .у, сдвига по фазе между Н и Е нет.

Проверим правильность построения графика Е = /(z) на рис. 24.1, а. Кривые на этом рисунке построены при со/ + ц/п =0, поэтому уравнением кривой Е- /(z) является выражение [в соответствии с (24.9)]

С2 Zb sin^-—zj.

При z = 0 ? = 0. В интервале от coz/v = 0 до coz = 7i мгновенные значения Е отрицательны. При со z/v = л ? = 0 и т. д.

Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Модуль

П изменяется по закону П = С| Zг sin2 (со / + ц/п z 1 Так как sin2 а = (l-cos2a)/2, то

т. е. вектор Пойнтинга имеет постоянную составляющую С Zt /2 и переменную, изменяющуюся во времени с двойной угловой частотой. Фазовая скорость электромагнитной волны в диэлектрике

Если волна распространяется в вакууме, то еа = е0, ра = ц0, и тогда фазовая скорость равна скорости света:

Таким образом, фазовая скорость электромагнитной волны в диэлектрике очень велика и несоизмеримо больше фазовой скорости плоской электромагнитной волны в проводящей среде.

Длина волны X есть расстояние вдоль оси z, на котором фаза колебания изменится на 2л. Ее находят из соотношения — А. = 2л:

Из (24.11) видно, что длина волны в диэлектрике обратно пропорци-

у 1 лб т*> л 300000 км/с ,ЛЛ. ональна частоте/Так, при / = 10 Гц л =-—:-= 300 м.

106 с'1

Пример 223. В плоскости z = 0 напряженность электрического поля плоской волны изменяется по закону Е = Ет sin(ci) / + уп), где Ет = = 0,2 В/м, со = 106 с-1 и |/п=30°; диэлектрик — воздух.

Следовательно, Н = 5,31510 4 sin(106 f-65e20') А/м. При 2 = 0,5 км мгновенное значение вектора ПоЙнтинга

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >