двадцать пятая ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ

Вывод уравнений для А и φ в переменном электромагнитном поле и их решение.

Переменное электромагнитное поле создается токами и зарядами, зависящими не только от координат, но и от времени. Рассмотрим, каким уравнениям подчиняются векторный и скалярный потенциалы А и ф в переменном электромагнитном поле. С этой целью запишем систему уравнений Максвелла:

Дополним ее уравнением непрерывности

и выражением магнитной индукции через векторный потенциал

Для того чтобы составить уравнение относительно векторного потенциала, необходимо проделать ряд выкладок. Умножив (25.1) на ца, получим

В последнем уравнении заменим ца еа на 1/v2:

- 1 дЁ

В (25.7) вместо В подставим rot/1, получим rot rot/1 = ца 5 + ———, или v д

*' В дальнейшем индекс «своб» писать нс будем.

Затем в (25.2) вместо — подставим —rot >4 = rot— (операция взя-

9/ dt dt

тия ротора и дифференцирование во времени не зависят друг от друга и потому взаимно переместимы). Тогда (25.2) приобретает следующий вид:

Если равны роторы двух функций (от ? и дЛ / dt), то сами функции равны с точностью до градиента от некоторой скалярной функции. Объясняется это тем, что ротор от градиента скалярной функции тождественно равен нулю (rot gradtp * 0).

Таким образом,

В (25.10) в качестве градиента скалярной функции взят gradtp. Объясняется это тем, что уравнение (25.10) должно быть справедливо и для статического поля. А так как в статическом поле 9.4/5/ = 0, то выражение, которое получается из (25.10) для статического поля, должно совпадать с известным из электростатики выражением Е - -gradtp.

В соответствии с (25.10) можно сказать, что в переменном электромагнитном поле напряженность электрического поля имеет две составляющие. Одна из них (-9А/9/) обусловлена переменным магнитным полем, другая (-gradtp) — неподвижными зарядами'1. Возьмем циркуляцию от вектора Е по любому замкнутому контуру:

Циркуляция от градиента ср тождественно равна нулю, а ? Adi в соответствии с уравнением (21.26) есть магнитный поток Ф, пронизывающий выбранный контур. Таким образом,

т. е. из (25.10) получили (25.10а) — закон электромагнитной индукции.

Обратим внимание на то, что формула (25.10), определяющая ?, записана для случая неподвижных тел и сред при отсутствии сторонней напряженности поля Е„ор, возникающей, например, при соприкосновении проводящих тел различного химического состава или имеющих различную температуру.

*’ Первую из них можно назвать вихревой составляющей, вторую — потенциальной (или кулоновой).

В более общем случае, когда тело или среда движется со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (у и В измеряются в одной и той же системе координат, а скорость v значительно меньше скорости света) и когда в данной точке поля имеется , результирующая напряженность поля будет состоять из четырех компонентов:

Первые два слагаемых имеют тот же смысл, что и в (25.10), третье — сторонняя напряженность поля, четвертое — магнитная составляющая силы Лоренца, представляющая собой силу, действующую на единичный заряд, двигающийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В. Все четыре компонента Е в одной и той же точке поля одновременно, как правило, не возникают.

В уравнении (25.8) участвует производная dEldt. Найдем ее из (25.10):

и подставим в (25.8):

Последнее уравнение можно переписать следующим образом:

Вектор-потенциал представляет собой функцию, ротор которой равен В. В гл. 21 отмечалось, что вектор-потенциал А должен быть подчинен определенному условию, а именно: в постоянном магнитном поле divA = 0, т. е. линии вектора представляют собой замкнутые сами на себя линии.

В переменном электромагнитном поле таким требованием к вектор- потенциалу является следующее требование (калибровка Лоренца):

Нетрудно убедиться в том, что для неизменного во времени поля условие (25.12) сводится к условию div^ = 0. В дальнейшем будет показано, что это условие является уравнением непрерывности div5 = = -dp/dt (§ 22.3), записанным в иной форме.

Вместе с тем уравнение (25.12) свидетельствует о том, что в переменном электромагнитном поле между векторным потенциалом А и скалярным потенциалом ср существует связь и что функции А и ф зависят друг от друга.

и называется уравнением Даламбера.

Если А не является функцией t, то d2A/8t2 =0 и уравнение (25.13) переходит в уравнение Пуассона.

Уравнение (25.13) является неоднородным векторным волновым уравнением. Его часто записывают в иной форме:

1

Оператор D2 = V2 —- —- называют четырехмерных лапласианам (за четвертое измерение^принимают время I).

Выясним, какому уравнению в переменном электромагнитном поле подчиняется потенциал <р. С этой целью в уравнение (25.4) вместо напряженности Ё подставим ее эквивалент по (25.10):

Но

и, следовательно,

В свою очередь

Поэтому уравнение (25.4) приобретает следующий вид:

Таким образом, в переменном электромагнитном поле скалярный потенциал ф удовлетворяет неоднородному волновому уравнению (25.14). Если поле статическое и потенциал не является функцией времени, то 32ф/3/2 =0 и уравнение (25.14) переходит в уравнение Пуассона V2 ф = —р/еа, обсуждавшееся в § 19.19.

Для того чтобы убедиться в том, что уравнение (25.12) совпадает с уравнением непрерывности (22.3), проделаем следующие выкладки.

Применим оператор О2 к обеим частям уравнения (25.12):

Внесем оператор П2 под знак дивергенции и под знак производной по времени. Получим

В соответствии с (25.13а) в (25.15) вместо О2 А подставим -ра 6, а вместо О2подставим -р/еа. Будем иметь

Вынесем ра из-под знака дивергенции, а еаиз-под знака производной по времени, поменяем знаки и разделим обе части равенства на ра:

Так как (v2 еа р,)-1 =1, то уравнение (25.16) есть уравнение непрерывности divS = -5p/5f.

Обсудим вопрос о решении уравнения (25.14). Запишем решение уравнения для двух частных случаев: для случая, когда 32(р/д/2=0, но р/еа * 0, и когда р/еа =0, но d2y>/dt2 *0. После этого на основании физических соображений запишем решение уравнения (25.14) в общем виде, так что оно будет переходить в известные решения для частных случаев.

Если d2cp/3f2 =0, то уравнение (25.14) переходит в уравнение Пуассона, общее решение которого известно из раздела электростатики (см. § 19.19):

Составляющая потенциала (р от элементарного заряда р dV равна 1 р dV

4 ле, R

При р = 0 уравнение (25.14) приобретает вид волнового уравнения:

В частном случае для плоской волны <р зависит только от пространственной координаты z:

Решением (25.17а) является выражение:

Причем функции f и /2 могут быть любыми, лишь бы они позволяли дважды дифференцировать их по / и г. Вид функций определяется граничными условиями.

Функция f(t -z/v) представляет собой падающую волну, распространяющуюся в направлении оси +z, функция /2(/ + z/v) это отраженная волна, двигающаяся в направлении оси -z.

Напомним, что о волновом уравнении (25.17а) уже говорилось в гл. 12 при рассмотрении вопроса о переходных процессах в линиях с распределенными параметрами.

Чтобы определить, в каком направлении перемешается волна /j(/-z/v), надо выяснить, как должна изменяться z с увеличением времени /, чтобы аргумент функции M/-z/v)

оставался постоянным, например равным нулю. Если принять t-z/v-О, то z = v/, т. е. с ростом / увеличивается z. Это означает, что волна распространяется вдоль положительного направления оси z.

Покажем, что в сферической системе координат уравнению (25.17) удовлетворяет функция /(/ - z/v)//?, где R — координата сферической системы; v — скорость распространения волны. Действительно, в сферической системе координат

Так как в силу сферической симметрии <р является функцией только R, то дц>/дв = 0 и 3<р/да = 0. Поэтому

Если в (25.176) подставить /(/-г/v)//?, то окажется, что

Таким образом, функция /(z-r/v)//? удовлетворяет уравнению (25.17) в сферической системе координат.

Для неизменного во времени поля (см. § 19.19)

и в то же время решение для <р в пространстве, не занятом зарядами, имеет вид

Сопоставляя эти два выражения, находим

Таким образом, составляющая потенциала от заряда p(r) dV, изменяющегося во времени, на расстоянии R от него равна

Выражение р(t-R/v) следует понимать так: объемный заряд р является функцией аргумента (t-R/v). Результирующее значение потенциала получим, если просуммируем составляющие потенциала от зарядов, распределенных в объеме V:

Обсудим решение уравнения (25.13). В общем случае это уравнение можно разбить на три уравнения для трех проекций вектор-потенциалав). Каждое из уравнений в проекциях будет составлено относительно скалярной величины (проекция вектора есть величина скалярная). Общее решение для каждой из проекций проводится точно так же, как проводилось решение для скалярной величины ф, но вместо объемного заряда будет участвовать соответствующая проекция плотности тока и вместо 1/еа.

После умножения решений на соответствующие орты и сложения окажется, что составляющая вектор-потенциала от элемента тока 8 dV в некоторой точке пространства, удаленной от элемента тока на расстояние Я, имеет вид

Для получения результирующего значения А необходимо геометрически просуммировать составляющие от всех элементов тока:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >