Оптимум фирмы как минимизация ее издержек

Какими должны быть издержки фирмы, чтобы произвести заданный объем продукции с минимальными расходами (наиболее эффективным образом)?

Неизменный выпуск задается изоквантами. Линия издержек характеризует уровень расходов на факторы производства при рыночных ценах ресурсов. Эта линия называется изокоста — линия одинаковых расходов. Например, для случая двух ресурсов — труда и капитала — изокоста принимает следующий вид: ТС = w-L + r-K, где w — цена единицы труда; г — цена единицы капитала. Под ценой труда можно понимать почасовую ставку заработной платы либо среднюю заработную плату одного работника за период времени (например, за месяц). Цена капитала — это альтернативные издержки использования денег, ставка по кредиту или ставка арендной платы за использование оборудования.

Поставим задачу для фирмы: тт'ГСЦС, L) для достижения Q = Q*. Пусть для определенности производственная функция представлена в виде: Q = KU 1?.

Построим функцию Лагранжа

Точка оптимума должна удовлетворять условиям первого порядка:

где у — множитель Лагранжа.

Для случая двух факторов производства оптимальное решение может быть найдено также на основе анализа графика (рис. 12.5).

Оптимальный выбор объема ресурсов, минимизирующий издержки при выпуске определенного объема продукции, находится в точке касания изокванты и изокосты. Это соответствует частному от деления двух первых уравнений в условиях первого порядка функции Лагранжа.

Наклон изокванты равняется предельной норме технологического замещения, т.е. отношению предельных продуктов факторов производства:

MRTS = ^L.

МРК

Наклон изокосты показывает отношение цен единицы ресурсов: (iv/r).

Оптимум фирмы как минимизация ее издержек

Рис. 12.5. Оптимум фирмы как минимизация ее издержек

_ . МР, iv „

Приравняем эти два выражения друг к другу: MRTS = —— =—. Для исходной производственной функции получим МРк г

или

Подставим данное выражение в функцию ограничения — функцию изокванты

Откуда найдем оптимальное значение объема нанимаемого труда и оптимальное значение объема нанимаемого капитала

Проанализируем внимательно функции оптимальных объемов ресурсов. Как можно заметить, каждая функция представляет собой обратную зависимость между ценой соответствующего ресурса и объемом нанимаемого фактора производства. Эта зависимость называется «условный спрос на ресурс». Почему спрос на ресурс? Поскольку взаимосвязь типа «цена — объем покупок» в микроэкономике характеризует спрос на товар, то в данном случае будет спрос фирмы на ресурс. Почему условный? Потому что здесь речь идет не о реальном рынке, где выбор связан не только с объемом продаваемой продукции, но и с ее ценой, а об условном рынке. Таков спрос на ресурс при условии, что заданный целевой объем продукции будет продан на рынке.

В общем виде условный спрос на фактор производства может быть представлен следующим образом: X, = f(Pt, Pjy Q), гдеX — объем используемого ресурса; Р. — цена данного ресурса; Pj — цены прочих ресурсов.

Вернемся к точке оптимума фирмы. Перераспределив предельные продукты и цены ресурсов, запишем условие оптимума следующим образом:

Это выражение можно назвать «эквимаржинальный принцип в производстве» по аналогии с эквимаржинальным принципом выбора потребителя. Эквимаржинальный принцип в производстве говорит о том, что для минимизации издержек фирма должна распределить свои затраты таким образом, чтобы последний вложенный рубль приносил одинаковую отдачу от каждого используемого ресурса. Показатель у (множитель Лагранжа в задаче нахождения условного минимума затрат фирмы) оценивает предельную производительность денег.

В общем виде решение задачи минимизации издержек подчиняется условиям Куна — Таккера.

Если Pi=y-MPi (цена ресурса соответствует предельной отдаче от ресурса в денежном виде), то X* > 0, ресурс покупается. Здесь будет наблюдаться внутренний оптимум фирмы.

Если Р{ > у • МР( (цена ресурса превышает предельную отдачу от него в денежном виде), то X? = 0, ресурс не покупается. Здесь мы имеем угловое решение.

Задача, иллюстрирующая теорию

Фирма платит 50 тыс. руб. в день работникам и 200 тыс. руб. за аренду оборудования. Фирма нанимает такое количество труда и капитала, что предельный продукт капитала равен 4 тыс. шт., а предельный продукт труда — 8 тыс. шт. Фирма выпускает 500 тыс. шт. товара в день. Использует ли фирма оптимальное сочетание факторов производства? Если нет, что ей надо сделать, чтобы улучшить свое положение?

Решение

Оптимальное соотношение факторов производства определяется эквимаржинальным принципом в производстве: дополнительная денежная единица, затраченная на любой фактор производства, приносит одинаковую предельную отдачу.

Поэтому отношения предельных продуктов факторов производства к ценам ресурсов должны быть постоянны для всех используемых ресурсов:

Проверим, выполняется ли это соотношение для данного случая:

Здесь эквимаржинальный принцип не выполняется. Это означает, что фирма не использует оптимальное соотношение факторов производства. Чтобы достичь оптимального соотношения ресурсов, фирма должна увеличить объем применяемого труда и сократить объем используемого капитала. В таком случае с ростом объема применяемого труда предельный продукт труда сократится (в соответствии с законом убывающей предельной производительности); а с сокращением объема используемого капитала предельный продукт капитала увеличится. Данную политику следует продолжать до тех пор, пока равенство отношений предельных продуктов к ценам ресурсов не будет восстановлено.

Особо следует отметить, что количественное значение выпуска не играет никакой роли для определения оптимального соотношения факторов производства.

Можно поставить задачу по-другому. Если в заданный период времени фирма выделила для какого-либо производства определенную сумму денег (своего рода бюджет производства), то как фирме распределить средства между факторами производства для максимизации совокупного выпуска?

Эта проблема является двойственной задачей производства. Ее решение может быть найдено с помощью функции Лагранжа и использованием эквимаржинального принципа в производстве: maxQ(K, L) при ограничении ТС = w-L + r-К. При одних и тех же исходных условиях график на рис. 12.5 будет показывать оптимум и в этом случае.

Для функции Кобба — Дугласа оптимальный объем труда здесь будет равен

Оптимальный объем капитала

Подставим оптимальные значения в исходное выражение для производственной функции:

Обозначим параметр перед ТС буквой N. Выразим совокупные издержки

Эта функция характеризует минимальные (эффективные) затраты при любом уровне производства. Данную функцию можно назвать функцией минимальных издержек.

Заметим, что если в прямой задаче минимизации издержек мы подставим в исходную функцию затрат

оптимальные значения объемов ресурсов (условный спрос на ресурсы), то получим одну и ту же функцию минимальных издержек

Функция минимальных издержек обладает следующими свойствами.

1. Функция обладает однородностью первой степени относительно цен ресурсов:

  • 2. Функция является возрастающей по отношению к выпуску.
  • 3. Функция не убывает и вогнута по ценам ресурсов.
  • 4. Функция непрерывна.
  • 5. Выполняется лемма Шепарда

Производная функции издержек по цене ресурса равняется условному спросу на этот ресурс.

Доказательства этих свойств аналогичны доказательствам свойств функции минимальных расходов в теории поведения потребителя.

Лемма Шепарда для производства показывает влияние изменения цены ресурса на совокупные издержки фирмы. Если цена фактора производства возрастает, то совокупные затраты фирмы становятся больше на величину, равную первоначальному объему этого фактора.

А как воздействует цена ресурса на предельные издержки?

Рассмотрим динамику предельных издержек:

Мы использовали свойство инвариантности вторых смешанных производных и лемму Шепарда. Таким образом, изменение предельных издержек под действием роста или падения цены ресурса зависит от того, к какому типу ресурса относится переменный фактор.

Введем классификацию факторов производства.

Если dL/dQ > 0 (рост выпуска требует увеличения ресурса), то ресурс считается нормальным (качественным) фактором производства.

Если dL/dQ < 0 (по мере увеличение выпуска фирма избавляется от ресурса), то ресурс расценивается как некачественный фактор производства.

Если dL/dQ = 0 (фирма не изменяет объемы используемого ресурса), то ресурс является нейтральным фактором производства.

Если dQ/dL < 0, мы имеем дело с антиресурсом.

Следует отметить, что среди ресурсов не может быть «товаров Гиффена», поскольку если цена некачественного ресурса растет, фирма всегда может сократить производство и, следовательно, уменьшить спрос на ресурс. В отличие от индивида у фирмы нет однозначно заданного уровня производства.

Итак, при увеличении цены переменного фактора предельные издержки возрастают, если этот фактор — нормальный ресурс, и убывают, если это — некачественный ресурс.

Каким образом фирме следует распределить производство, если у нее есть не один, а несколько заводов?

Здесь нам понадобятся условия оптимальности Куна — Таккера.

Пусть фирма хочет минимизировать совокупные издержки целевого выпуска Q*, распределяя производство между двумя заводами с различными, в общем, функциями издержек.

Запишем в формальном виде задачу фирмы

при ограничениях:

Построим функцию Лагранжа

Условия Куна — Таккера таковы:

Множитель Лагранжа показывает степень возрастания совокупных издержек фирмы при увеличении ее совокупного выпуска Q*. В данном случае экономический смысл множителя Лагранжа можно определить как предельные издержки фирмы в целом. Так как фирма что-то производит хотя бы на одном из своих заводов, ее предельные издержки положительны. Поэтому множитель Лагранжа положителен. И это значит, что ограничение на выпуск выполняется как равенство: Qj+Q2=Q*. Фирма, минимизирующая издержки, не будет превышать целевой выпуск.

Если все заводы фирмы используются (в нашем примере выпуск положите-

&ТС (О )

лен на обоих заводах), то Q,>0 и —*—--у =0 или MC1(Q1) = MC2(Q2) = ’/.

dQi

Фирма так должна распределить выпуск между своими заводами, чтобы предельные издержки производства на каждом из них были равны между собой.

ajvj /q л

Если для какого-либо завода ——*—— - у > 0, т.е. предельные издержки

dQi

непропорционально велики, то этот завод следует закрыть: Q, = 0.

Задача, иллюстрирующая концепцию

Вашей фирме принадлежат два завода, выпускающие однородный товар. Совокупные издержки выпуска на первом заводе составляют

На втором заводе совокупные издержки равны

  • 1. В этом году вы планируете продать 25 тыс. ед. товара. Каким образом следует распределить производство между заводами?
  • 2. В следующем году аналитики предсказывают падение спроса на ваш продукт на 10 тыс. шт. Как вы распределите выпуск между заводами в этом случае?

Решение

1. Найдем предельные издержки каждого завода Воспользуемся условиями оптимума

Известно, что планируется продать 25 тыс. ед. товара, тогда

Решая два уравнения с двумя неизвестными, получаем оптимальные объемы производства для каждого завода: q, = 20; q2=5.

2. Известно, что планируется продать 15 тыс. ед. товара, тогда

Решая аналогичным образом, как и в п. 1, новую систему, мы получаем, что q2 < 0. Это означает, что издержки на втором заводе слишком велики при таком маленьком совокупном выпуске. Второй завод становится неэффективным с точки зрения фирмы, и его следует закрыть.

Следовательно, Q = q, =15, q2 =0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >