Задачи и упражнения

  • 2.1. Как определить по таблице Кэли полугруппы, моноид ли она, содержит ли идемиотент?
  • 2.2. Является ли полугруппой группоид порядка 3, таблица Кэли которого имеет вид

*

a

b

c

a

c

c

b

b

b

a

c

C

a

b

a

Коммутативна ли операция группоида?

  • 2.3. Сколько различных (коммутативных) группоидов можно определить на п-множестве?
  • 2.4. Ассоциативна и коммутативна ли операция наХ:

a)X = N,x * у = х+ 2ух* у= НОД(д:,г/);

б )X = Z,x*y = x-y;x*y = х2 + у2?

  • 2.5. Какое множество есть мультипликативная группа: все целые степени данного вещественного числа; отрезок [0,1]?
  • 2.6. Является ли мультипликативной полугруппой (моноидом, группой) множество: нижнетреугольных матриц порядка п над полем; диагональных матриц порядка п над полем; целочисленных матриц с определителем, равным ±1; матриц над R, все элементы которых положительны; многочленов степени не выше п над R?
  • 2.7. <1 если полугруппа содержит нуль, то этот нуль единственный.
  • 2.8. Является ли подкольцом кольца матриц над полем R множество:
    • а) диагональных матриц;
    • б) верхнетреугольных матриц;
    • в) матриц, у которых все элементы неотрицательны?
  • 2.9. Образует ли кольцо множество действительных многочленов, заданных суммой одночленов четных степеней и свободного члена?
  • 2.10. Образует ли векторное пространство множество матриц (верхнетрсуголь- ных, диагональных) порядка п над полем действительных чисел? Если да, то какой размерности?
  • 2.11. Являются ли линейно независимыми системы действительных многочленов:

Каковы размерности линейных оболочек этих множеств?

  • 2.12. Определите линейную оболочку множества Н ={(1,0,0,1,0,0), (1,1,1,0,0,0), (0,1,1,1, 0, 0)} векторов пространства V6. Какова ее размерность?
  • 2.13. Определите линейную оболочку множества векторов Н = {х, Л(х), А2(х)} при х= (1, 0, 0, 1), [1]

Г1 О 0 f 0 110

Л = л л . Какова сс размерность?

0 10 0 Р 1

,0 0 1 I

  • 2.14. <1 множество идемпотентов полугруппы является подполугруппой, если любые два идемпотента коммутируют.
  • 2.15. <1 кольцо многочленов Р[х^ ...,xk образует векторное пространство над полем Р. Для пространства приведите пример базиса, определите размерность.
  • 2.16. Являются ли матрицы Ли В над полем GF( 2) взаимно обратными:
  • 2.17. Сколько имеется различных нижнетреугольных (верхнетреугольных, диагональных) матриц порядка п над полем GF(2)?
  • 2.18. Является ли подпространством множество квадратных матриц порядка п над полем GF(2) (над полем R), у которых а^= 0 при некоторых i,j е {1,..., п}?
  • 2.19. В мультипликативной полугруппе всех квадратных матриц порядка 2 над полем GF(2) определите все идемпотенты.
  • 2.20. Докажите, что имеется биекция между множеством делителей числа п> которые меньше 4п, и множеством делителей числа п, которые больше yfn.
  • 2.21. Докажите, что п5 - п делится на 30 при любом п.
  • 2.22. О если 2п - 1 — простое, то и п — простое; если 2" + 1 — простое, то п — степень 2.
  • 2.23. Разложить па множители: а) З9 - 1, З12 - 1, 58 - 1, 106 - 1, 108 - 1; б) 2п - 1 при Yi— 15, 21, 30,33, 60.
  • 2.24. <1 если (п, т) = d и целое а > 1, то п - 1, ат - 1) = a(l - 1.
  • 2.25. Оцените сложность проверки па простоту числа с помощью деления:
    • а) на все нечетные числа, не превышающие 4п (список простых чисел неизвестен);
    • б) на все простые числа, не превышающие 4п.
  • 2.26. Найдите (360, 294):
    • а) используя канонические разложения;
    • б) алгоритм Евклида.
  • 2.27. Найдите с помощью алгоритма Евклида (343, 1397), НОД(4191, 132000), НОД(768, 2592).
  • 2.28. Найдите с помощью расширенного алгоритма Евклида целые и и v такие, что:
    • а) 128м + 25о=1;
    • б) 777м + 4375г; = 7.
  • 2.29. Что называется:
    • а) классом вычетов по модулю т
    • б) кольцом вычетов но модулю m2
  • 2.30. Постройте таблицу умножения: числа 5 в кольце Z7; числа 11 в кольце Z12; числа 6 в кольце вычетов Z9. Обратимы ли эти числа в соответствующих кольцах вычетов?
  • 2.31. Найдите все обратимые элементы кольца: Z5; Z6; Z12; Z18; Z34; Zf)9; Z129.
  • 2.32. Какое из колец вычетов Z13, Z2, Z9V ^127- Z69, Z,2g, Z257 является полем? Поясните ответ.
  • 2.33. Какая из пар чисел сравнима по mod7 и не сравнима по mod5: (42, 47), (-2, 12), (19,-6)?
  • 2.34. Сложите сравнения и определите класс вычетов, содержащий результат:
    • а) -9 = 12(mod7), 17 = 3(mod7);
    • б) -5= 12(modl7), 17 = 85(modl7).
  • 2.35. Умножьте сравнения и определите класс вычетов, содержащий результат:
    • а) -4 = 10(mod7), 34 = 6(mod7);
    • б) -3 = 23(modl3), 14 s 79(modl3).
  • 2.36. Упростите при а, b,c€ Z: (6 + 1 lm + 3m2)(2 + m2)modw; (a + bm + cm2)(3 + + cm + m2)modm.
  • 2.37. <1 X'n - 11X" - 1 <=> m I n (над любым полем).
  • 2.38. Найдите с помощью алгоритма Евклида: а) ПОД((1 + 2х + Зх4), (1 + 4л: + + Зх2 + х7)); б) IЮД(( 1 + х2 + 2х3 + 2х5), (1 + х2 - Зх1 - Зх6)); в) IЮД(( 1@х2Фх3®

© X7), (1 © X © X2 © X4 )).

  • 2.39. Является ли нолем кольцо вычетов GF(2)[х] / ф(х), если двоичный многочлен <р(х) равен:
    • а) 1 Фх©х2©х4;
    • б) l©x2©Jt«;
    • в) 1©х2©х5?

Поясните ответ.

  • 2.40. Какая из пар многочленов сравнима по mod(l + 2Х + Х3):
    • а) (х2,х + Зх2 + Х4);
    • б) (1 + х, 1 + + 2х2 + бх3 + 2х5);
    • в) (1 + х + Зх3 + х5,1 + Зх + 5х2 + 2т1 + 2x^)7
  • 2.41. Какая из пар многочленов сравнима по mod(l ФхФх3):
    • а) (1 Фх2 ©х3Фх7, 1 ©х2 ©х6);
    • б) (1 Ф х2 © х3, х © х3 Ф х3);
    • в) (1 © X Ф X2 © X4, 1 Ф X2 © х:>)?
  • 2.42. Пусть d = max{deg/, degg}, где f,g е F/(fx|. Через d р оцените число двоичных операций для вычисления НОД(/, g) по алгоритму Евклида.
  • 2.43. Найдите d(x) = НОД(/, g) для /, g е F;,[x| и выразите его в виде d(x) = и(х) /(х) + v(x)g(x):
    • а) /=х® + х+ l,g = x2 + х+ ,р = 2;
    • б) /=х6 + х5 + х43 + х2 + х+ l.g^x4+ х2+ х+ 1,JE? = 2;
    • в) х3 - х + 1, g = х2 + 1, р = 3; г) х6 + х3 - 2х + 1, g = х4 + 2 + 1, р = 5.

  • [1] Вгаиег Л. On a problem of partitions, Am. J. Math., 64 (1942). P. 299—312.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >