Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется углом между этой прямой и ее проекцией на плоскость (см., например, угол а на рис. 4.23). Для построения угла между прямой и плоскостью в общем случае требуется: найти точку пересечения прямой с плоскостью; провести из некоторой точки прямой перпендикуляр на плоскость; определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью; полученные точки пересечения прямой и перпендикуляра с плоскостью соединить прямой линией. Угол между прямой и построенной линией будет искомым.

Для определения величины угла а между прямой и плоскостью на практике поступают так. Определяют угол между прямой и перпендикуляром из точки прямой к плоскости (рис. 4.23). Искомый угол определяют вычитанием из 90° угла между прямой и перпендикуляром к плоскости:

Величина угла между заданной прямой и перпендикуляром может быть определена различными способами, в том числе рассмотренными на рисунках 5.10 и 5.13.

Примеры комплексных задач

Рассмотренные вопросы построения параллельных и перпендикулярных прямых линий и плоскостей позволяют решать комплексные задачи. Рассмотрим некоторые типовые задачи и примеры их решения.

Пример 1 (рис. 4.24). Даны плоскость Р, заданная проекциями e'f', ef и q'h', qh пересекающихся прямых; проекции тТ, ml и т'п', тп пересекающихся прямых ML и MN, проекции a'b', ab и Ь% Ы пересекающихся прямых АВ и BL определяющих плоскость четырехугольника ABCD.

Требуется построить проекции этого четырехугольника, если вершина С лежит на прямой BI и равноудалена от сторон угла NML, а сторона AD параллельна плоскости Р и равна 85 мм.

В данном случае может быть принят, например, следующий план решения (см. рис. 4.25):

находят проекции с с вершины С как точки, принадлежащей прямой ВI и равноудаленной от сторон угла LMN

строят проекции прямой, на которой должна быть расположена сторона AD, как прямой, лежащей в плоскости АВ/ и параллельной плоскости Р, т. е. как прямой, параллельной линии пересечения этих плоскостей и проходящей через точку А:

строят проекции a'd' ad стороны AD, для чего на построенной прямой откладывают заданную величину стороны AD и получают точку А

Рис. 4.24

проводят сторону CD через построенные точки.

Построения приведены на рисунке 4.25.

Построение проекций с', с вершины С многоугольника, равноудаленной от сторон угла и лежащей на заданной прямой, приведено в левой части рисунка 4.25

Точки, равноудаленные от сторон угла LMN, лежат в биссекторной плоскости этого угла.

В общем случае для ее построения нужно иметь биссектрису угла и пересекающийся с ней перпендикуляр к плоскости угла.

Рис. 4.25 ^Rh

Эту задачу можно упростить, построив биссекторную плоскость как перпендикулярную к середине равнобедренного треугольника, построенного на сторонах угла.

Для построения проекций 1'2 I—2 основания равнобедренного треугольника с проекциями Гт'2', 1—т—2 на проекциях каждой из сторон выбирают произвольные точки, например точки с проекциями /', / и 3 3. Строят натуральные величины mi и т'З отрезков с проекциями т'1 т—1 и т'3 т—3. На натуральной величине одного из отрезков, например т'3, отмечают натуральную величину другого отрезка — ml (точку 2,[т'2 ^ тТ). По точке 2 строят проекции т'2 т—2отрезка, равного по длине отрезку с проекциями т'Г, т—1.

Проекцию биссекторной плоскости S угла LMN задают проекциями k'h₂, kh₂ горизонтали и k'g', kg фронтали, перпендикулярными к основанию с проекциями !'2 /—2 треугольника и проведенными через его середину — точку с проекциями к к (см. рис. 4.19).

Проекции с', с вершины С на прямой В/ находят как проекции точки пересечения этой прямой с плоскостью S. Для этого используют вспомогательную горизонтально-проецируюшую плоскость со следом /?/,, в которую заключают прямую с проекциями b'i Ы. Горизонтальную проекцию 4—5 линии пересечения плоскости S с плоскостью R отмечают в пересечении горизонтальных проекций kh₂ и kg и следа /?/,. Ее фронтальную проекцию 4'5' строят с помощью линий связи. В точке пересечения проекций 4'5' и ЬУ находят фронтальную проекцию с' вершины С, а по ней — горизонтальную проекцию с.

Сторону AD₄ параллельную заданной плоскости Р, можно построить как линию, параллельную линии пересечения плоскости многоугольника и плоскости Р. или как линию пересечения плоскости многоугольника со вспомогательной плоскостью А параллельной плоскости Р и проходящей через заданную вершину. Построение линии пересечения двух плоскостей в обшем случае рассмотрено в 4.2, а для первого случая приведено выше (см. рис. 4.9).

Второй вариант построения приведен на рисунке 4.25. Это построение в данном случае облегчается тем, что одна общая точка плоскости многоугольника и вспомогательной плоскости Q уже имеется (плоскость Q проходит через данную вершину А).

Проекции плоскости Q, параллельной плоскости Р, задают проекциями qh, q_xh_x и e'_xf'_x прямых, проходящих через вершину с проекциями а а и параллельных проекциям q'h qh и ef ef заданных прямых.

Вторую общую точку плоскости Q и плоскости многоугольника находят с помощью вспомогательной, например горизонтальной, плоскости Г, заданной следом T_v.

С плоскостью многоугольника она пересекается по прямой, проекции которой 6'7 6—7, с плоскостью Q — по прямой, проекции которой 8'9 8—9. В пересечении горизонтальных проекций б—7 и 8—9 этих прямых находят горизонтальную проекцию 10, а по ней фронтальную проекцию 10' искомой общей точки. Через их проекции и проекции а'и а проводят проекции Ю'а'у 10 —а искомой стороны многоугольника. На них отмечают проекции d d искомой вершины по заданной величине a'D стороны AD (построив предварительно натуральную величину отрезка а'11).

Через построенные точки с с и d', d проводят проекции cd, c'd' и d'a da сторон.

Пример 2 (рис. 4.26). Даны: плоскость Р, заданная проекциями к'!', к1 и k'q', kq пересекающихся прямых; проекции т т и п', п двух точек; проекции d'e', de и d'i'_y di пересекающихся прямых и фронтальная проекция я'е'стороны АЕ плоского пятиугольника ABCDE.

Требуется построить проекции этого пятиугольника, если вершина С лежит на прямой D! и равноудалена от точек М и jV, а сторона АВ параллельна плоскости Р и равна 70 мм.

В данном случае может быть принят, например, следующий план решения:

находят проекции с с вершины С как точки, принадлежащей прямой D! и равноудаленной от точек А/ и N

находят недостающую горизонтальную проекцию а из условия принадлежности точки А плоскости, заданной пересекающимися прямыми с проекциями d'e de и d'i', di

строят проекции a'b ab стороны АВ (как и стороны AD в примере 1); проводят проекции b'c', Ьс стороны ВС через построенные проекции точек.

Рассмотрим из указанных построений только построение на проекциях прямой проекций с с точки (вершины С), равноудаленной от двух заданных точек М и N. Множеством точек, равноудаленных от двух заданных точек М и N, является плоскость 5, проведенная через середину отрезка MNперпендикулярно к нему. В точке пересечения плоскости Sc заданной прямой находят искомую вершину С.

Построение проекций сс вершины С приведено на рисунке 4.27.

Рис. 4.26

Проекции плоскости Sзадают проекциями двух главных линий —Гк', 1—к фрон- тали и 2'к 2—к горизонтали. Они перпендикулярны к отрезку, заданному проекциями т'п тп, и проходят через его середину — точки к', к. Проекции с с точки пересечения прямой Die плоскостью S находят с помощью фронтально-проецирующей плоскости, задаваемой следом P_v.

Рис. 4.27

Пример 3 (рис. 4.28). Даны: плоскость, заданная следами Р_и и Р/,, проекции т т, п п и Г_у / трех точек и проекции Ь'с Ьс и Ь'Гу Ы двух пересекающихся прямых, определяющих плоскость четырехугольника A BCD.

Построить проекции этого четырехугольника, если вершина А равноудалена от точек М, N и L, сторона CD параллельна плоскости Р и равна 85 мм.

План решения в данном случае может быть принят, например, следующий:

строят проекции а', а вершины как точки заданной плоскости и равноудаленной от трех заданных точек;

строят проекции c'd cd стороны (как и стороны AD в примере 1);

проводят проекции a'd ad стороны через построенные проекции точек.

Рассмотрим построение на плоскости точки, равноудаленной от трех заданных точек Af, N н L. Известно, что точки, равноудаленные от трех заданных точек Л/, N и L, лежат на перпендикуляре, проведенном из центра описанной окружности, проходящей через точки Л/, N и L. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью заданного многоугольника является искомой вершиной.

Рис. 4.28

Построение проекций вершины приведено на рисунке 4.29.

Проекции Г2 1—2 перпендикуляра строят как проекции линии пересечения плоскостей S и R. являющихся соответственно множеством точек, равноудаленных от точек М и N и от точек N и L. Эти плоскости проводят соответственно перпендикулярно отрезкам с проекциями т'п' тп и /'я' In через их середины — точки с проекциями к к и/',/

При построении плоскости S учитывают, что точки М и N находятся на одинаковом расстоянии от плоскости V (по условию), поэтому она является фронталь- но-проенируюшей. Ее задают следом S_v.

Плоскость R задают проекциями f'q fq фронтали и f'g',fg горизонтали. Линию пересечения 1—2, (1'2 1—2) плоскостей S и R находят по фронтальным проекциям Г и 2' их общих точек / и 2.

Точку пересечения А прямой 1—2 с плоскостью многоугольника находят с помощью вспомогательной горизонтально- проецирующей плоскости Т, проведенной через прямую 1—2. Эта плоскость пересекает плоскость многоугольника по линии с проекциями 3—4. 3'4'. В пересечении проекций 3'4'и Г2' находится фронтальная проекция а' ив проекционной связи на проекции 1—2 — горизонтальная проекция а.

И1. Как устанавливают взаимное положение прямой и плоскости?

• 2. Как строят точку пересечения прямой линии с проецирующей плоскостью?
• 3. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к горизонтальной плоскости проекций считается видимой на этой плоскости проекций?
• 4. Как строят линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проецирующая?

• 5. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?
• 6. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с плоскостью?
• 7. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для построения этой точки (см. вопрос 6)?
• 8. Как определить видимость при пересечении прямой с плоскостью?
• 9. Как можно построить прямую пересечения двух плоскостей, если не применять общего способа, рассмотренного в 4.2?
• 10. Как определить «видимость» в случае взаимного пересечения двух плоскостей?
• 11. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть параллельна некоторой плоскости?
• 12. Как провести плоскость нерез прямую параллельно заданной прямой?
• 13. Чем определяется взаимная параллельность двух плоскостей?
• 14. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости?
• 15. Как проверить на чертеже, параллельны ли между собой заданные плоскости?
• 16. Как располагаются проекции перпендикуляра и плоскости?
• 17. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через точку на прямой и через точку вне прямой)?
• 18. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения?
• 19. Как построить две взаимно перпендикулярные прямые?
• 20. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?
• 21. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их одноименные следы взаимно перпендикулярны?
• 22. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций этого угла?