Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа.

К методам формирования уравнений электрического равновесия цепей, основанным на непосредственном применении законов Кирхгофа, относятся метод токов ветвей и метод напряжений ветвей. В методе токов ветвей (ТВ) в качестве независимых переменных, относительно которых составляется сокращенная система уравнений электрического равновесия, используют неизвестные токи ветвей исследуемой цепи.

Метод ТВ основан на том, что ток и напряжение каждой ветви, за исключением ветвей, содержащих идеализированные источники тока, а также ветвей, составленных только из идеализированных источников напряжения, связаны между собой однозначной зависимостью, которая определяется компонентным уравнением данной ветви.

Пусть линейная электрическая цепь состоит только из идеализированных двухполюсных пассивных элементов: сопротивлений, емкостей, индуктивностей, а также неуправляемых источников напряжения. Основная система уравнений электрического равновесия такой цепи содержит q - 1 уравнение баланса токов, р - q + 1 уравнение баланса напряжений и р - рин компонентных уравнений для определения р неизвестных токов и р - рш неизвестных напряжений ветвей (напряжения рин ветвей, состоящих только из источников напряжения, заданы). Если каким-либо образом найти токи всех ветвей, то неизвестные напряжения могут быть получены с помощью р -р компонентных уравнений. Для определения/? неизвестных токов ветвей можно воспользоваться q - 1 уравнением баланса токов ир - q + 1 уравнением баланса напряжений, выразив в последних напряжения ветвей через соответствующие токи. Таким образом, для цепи, не содержащей источников тока, применение метода ТВ позволяет уменьшить число уравнений, входящих в систему уравнений электрического равновесия, от 2р - рин до р.

Пример 4.1. Составим систему уравнений электрического равновесия методом ТВ для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 4.1, я. Граф этой цепи, соответствующий сокращенному топологическому описанию, изображен на рис. 4.1, б.

К примеру 4.1

Рис. 4.1. К примеру 4.1

Как очевидно из рисунка, для данного топологического описания число ветвей р = 6, число узлов <7 = 4, причем ни одна из ветвей не содержит источников тока т = 0) и не составлена только из источников напряжения ш = 0). Выбирая дерево графа и систему независимых контуров в соответствии с рис. 4.1, в — д, составим основную систему уравнений электрического равновесия, которая будет включать в себя 12 уравнении, в том числе <7-1=3 уравнения баланса токов

p - q + 1 = 3 уравнения баланса напряжений и р - рии - рт = 6 компонентных уравнений

Подставляя компонентные уравнения в уравнения баланса напряжений, получаем в сочетании с уравнениями баланса токов сокращенную систему уравнений электрического равновесия цепи:

Таким образом, число одновременно решаемых уравнений уменьшилось с 12 до 6.

Рассмотрим более общий случай, когда исследуемая цепь помимо указанных ранее элементов включает в себя рит ветвей, содержащих неуправляемые источники тока (токи этих ветвей заданы, а напряжения неизвестны и не могут быть выражены через токи соответствующих ветвей с помощью компонентных уравнений). Выберем дерево графа цепи таким образом, чтобы ветви, содержащие источники тока, не входили бы в число ветвей дерева, т.е. являлись главными ветвями. Тогда напряжения этих ветвей будут фигурировать только в рж уравнениях баланса напряжений, составленных для главных контуров, замыкаемых ветвями, содержащими источники тока. Выражая в остальных р - q + 1 - рш уравнениях, составленных на основании второго закона Кирхгофа, неизвестные напряжения р - рШ1 - рж невырожденных ветвей через токи этих же ветвей, получим в сочетании с q - 1 уравнениями, составленными на основании первого закона Кирхгофа, р - рж уравнений для определения р - рж неизвестных токов ветвей.

Таким образом, при использовании метода ТВ сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи включает в себя q - 1 уравнений баланса токов и р - q + 1 - рж

уравнений баланса напряжений, составленных для главных контуров, не содержащих ветвей с источниками тока, причем все входящие в эти уравнения неизвестные напряжения ветвей должны быть выражены через соответствующие токи.

Решая данную систему уравнений любым методом, можно найти р - рИТ неизвестных тока ветвей. Далее, с помощью компонентных уравнений невырожденных ветвей определяют р - рпт - рИН неизвестные напряжения этих ветвей. Для расчета оставшихся рш неизвестных напряжений ветвей с источниками тока используют рит уравнений баланса напряжений, составленных для главных контуров, содержащих ветви с источниками тока.

Пример 4.2. Составим систему уравнений электрического равновесия цепи по методу ТВ. Схема замещения цепи для мгновенных значений приведена на рис. 1.39, а, комплексная схема замещения — на рис. 4.2, а.

Как было показано в примере 1.9, основная система уравнений электрического равновесия этой цепи включает в себя четыре компонентных уравнения и шесть уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа. Если дерево графа выбрано таким образом, что ветвь, содержащая источник тока, вошла в число главных ветвей (рис. 4.2, б), то напряжение этой ветви будет фигурировать только в одном уравнении, составленном на основании второго закона Кирхгофа. Это уравнение после нахождения токов всех ветвей можно использовать для нахождения неизвестного напряжения на источнике тока. Выражая в оставшихся уравнениях, составленных на основании законов

К примеру 4.2

Рис. 4.2. К примеру 4.2

Кирхгофа, напряжения ветвей через соответствующие токи, получаем систему из пяти уравнений для определения пяти неизвестных токов ветвей.

Далее будет показано, что число ветвей цепи, токи которых могут быть заданы независимо и которые, следовательно, могут содержать источники тока, не превышает числа главных контуров цепи р - q + 1. Когда рт = р - q + 1, число неизвестных токов ветвей будет равно q - 1 и они могут быть определены из q - 1 уравнения баланса токов.

В связи с тем, что напряжения на связанных индуктивностях выражаются через токи этих индуктивностей, метод ТВ может быть применен и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями (см. пример 2.17).

Дуальным но отношению к методу ТВ является метод напряжений ветвей (НВ). При составлении системы уравнений электрического равновесия цепи с помощью этого метода в качестве независимых переменных используют неизвестные напряжения р - рИН ветвей. Система уравнений электрического равновесия в этом случае включает в себя р - q + 1 уравнений баланса напряжений и q - р - 1 уравнений баланса токов, составленных для главных сечений, не содержащих ветвей, состоящих только из источников напряжения, причем неизвестные токи ветвей, входящие в эти уравнения, должны быть выражены через напряжения этих же ветвей. Число ветвей, напряжения которых могут быть заданы независимо, не может превышать числа независимых узлов q - 1. В случае, если число ветвей, состоящих только из независимых источников напряжения, равно числу независимых узлов ИН = q - 1) и, следовательно, число неизвестных напряжений ветвей равно числу независимых контуров р - q + 1, неизвестные напряжения всех ветвей могут быть определены из р - q + 1 уравнений баланса напряжений.

Пример 4.3. Для цепи, рассмотренной в примере 4.2, составим уравнения электрического равновесия по методу НВ.

Число ветвей данной цепи р = б, число узлов q = 4, причем одна ветвь составлена только из источников напряжения (Рт= !)•

Для определения р - рШ{ = 5 неизвестных напряжений ветвей составим р - q + 1=3 уравнения баланса напряжений

и q - 1 - рШ1 = 2 уравнения баланса токов для главных сечений, соответствующих третьей и шестой ветвям дерева (см. рис. 1.39, б)

(в последних уравнениях неизвестные токи ветвей выражены через напряжения соответствующих ветвей).

Метод НВ в общем случае нельзя использовать для формирования уравнений электрического равновесия цепей со связан ными инду ктивностями, так как токи таких индуктивностей могут быть выражены через соответствующие напряжения только при коэффициенте связи между индуктивностями, меньшем единицы. Действительно, используя компонентные уравнения двух связанных индуктивностей (2.172), выразим токи этих индуктивностей через напряжения

Очевидно, что полученные выражения имеют смысл только при М ^ ~JLL2, т.е. при /г у/ < 1. Таким образом, метод напряжений ветвей является менее общим, чем метод токов ветвей.

Таким образом, методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применения законов Кирхгофа, позволяют уменьшить число одновременно решаемых уравнений с 2р - рпТ - рин до р - рит илир-рИН.

Метод контурных токов (КТ) основан на важной топологической особенности электрических цепей, заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи связаны между собой q - 1 уравнением баланса токов, и, следовательно, из р токов ветвей только р - q + 1 ток может быть задан независимо.

Такое число токов в точности равно числу главных контуров рассматриваемой цепи, поэтому с каждым главным контуром можно связать некоторый ток (его называют контурным током), который может быть задан независимо. В качестве контурных токов будем выбирать токи главных ветвей, число этих ветвей равно числу главных контуров и они не связаны между собой уравнениями баланса токов, т.е. могут быть заданы независимо.

Иногда в качестве контурных токов выбирают не токи главных ветвей, а некоторые фиктивные токи, замыкающиеся в основных контурах цепи, т.е. контурах, соответствующих ячейкам планарного графа (напомним, что число основных контуров электрической цепи также равно р- q + 1). Во многих случаях этот подход является удобным, так как не требует привлечения топологических представлений и, в частности, построения дерева графа рассматриваемой цепи, однако его применение ограничено только цепями, граф которых является планарным.

Если токи главных ветвей цепи каким-либо способом определены или заданы, то, используя q - 1 уравнение баланса токов, можно найти q - 1 неизвестных токов ветвей дерева и далее, применяя компонентные уравнения и уравнения баланса напряжений, составленные для главных контуров, содержащих ветви с источниками тока, найти неизвестные напряжения всех ветвей. Таким образом, неизвестные токи и напряжения всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей. Для цепи, не содержащей источников тока, токи всех р - q + 1 главных ветвей являются неизвестными. Для их определения можно составить р - q + 1 уравнение баланса напряжений, выразив в последних неизвестные напряжения ветвей через контурные токи. Если в рассматриваемой цепи имеется рш ветвей, содержащих источники тока, то число неизвестных токов главных ветвей уменьшается до р - q + 1 - рт (напомним, что источники тока могут входить только в главные ветви графа). В этом случае для нахождения неизвестных контурных токов используют р - q + 1 - рИТ уравнений баланса напряжений, составленных для контуров, не содержащих источников тока, выразив в них неизвестные напряжения ветвей через токи главных ветвей.

Как следует из изложенного, метод КТ можно считать дальнейшим развитием метода ТВ, при этом число одновременно решаемых уравнений уменьшается с 2р - рш - рж (при использовании ОСУ) или с р- рш (метод ТВ) до р - pm - q + 1.

Сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных контурных токов, называется системой контурных уравнений цепи.

Такая система уравнений может быть сформирована одним из двух способов.

  • 1. Получена из основной системы уравнений электрического равновесия цепи или из уравнений, составленных по методу ТВ, путем исключения всех неизвестных, кроме токов главных ветвей. Это способ является трудоемким и на практике почти не используется. В дальнейшем воспользуемся им лишь один раз для обоснования второго способа.
  • 2. Составлена непосредственно по схеме цепи, минуя этап составления ОСУ. При этом запись уравнений осуществляют с помощью простого алгоритма, который можно сформулировать, если проанализировать системы контурных уравнений, полученных первым способом, и привести их к некоторой стандартной (канонической) форме, введя ряд новых понятий и обозначений.

Рассмотрим методику формирования контурных уравнений на примере простой цепи, не содержащей независимых источников тока и управляемых источников тока или напряжения (см. рис. 4.1, а). Выберем в качестве ветвей дерева ветви 1, 2, 6. Для соответствующей этому дереву системы главных контуров (см. рис. 4.1, в — д) составим уравнения баланса напряжений, выразив в них неизвестные напряжения всех ветвей через соответствующие токи:

Используя уравнения баланса токов

токи ветвей дерева^ /1; /2, /б можно выразить через токи главных ветвей /3, /4, /5:

Подставляя выражения (4.2) в выражение (4.1), получаем систему изр-<7+1=3 уравнений для определения трех неизвестных токов главных ветвей:

Разумеется, систему контурных уравнений (4.3) решить легче, чем приведенную в примере 4.1 основную систему уравнений этой же цепи (12 уравнений) или систему уравнений, составленную по методу ТВ (шесть уравнений).

Для того чтобы выявить структуру контурных уравнений цепи (4.3) и сформулировать алгоритм их составления непосредственно по схеме цепи, введем ряд новых понятий и обозначений. Собственным сопротивлением Z(,7) /-го контура назовем сумму сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. В рассматриваемой цепи (см. рис. 4.1, а) выделено три независимых контура (см. рис. 4.1, в — д) их собственные сопротивления

В каждом из уравнений (4.3) имеется член, равный произведению собственного сопротивления /-го контура на ток главной ветви, входящей в данный контур. Этот член можно рассматривать как падение напряжения на собственном сопротивлении /-го контура, которое вызвал бы ток, соответствующий главной ветви, если бы проходил через все ветви, входящие в данный контур, т.е. замыкался бы в /-м контуре (отсюда происхождение термина «контурный ток»). Контурный ток /-го контура обозначим 1^у Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением обхода этого контура, т.е. с направлением соответствующей главной ветви. Для цени, схема которой представлена на рис. 4.1, а,

Общим, или взаимным, сопротивлением /-го и7-го контуров назовем сопротивление равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Общее сопротивление Z^jj) берется со знаком «плюс», если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении; если контурные токи в общих ветвях имеют противоположные направления, то общее сопротивление берут со знаком «минус». Если контуры не имеют общих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю. Общие сопротивления контуров цепи (см. рис. 4.1, а)

Контурная ЭДС Ёц г-го контура — алгебраическая сумма ЭДС всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление ЭДС какого-либо источника, входящего в г-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая ЭДС входит в Ёц со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус». Контурные ЭДС цепи (рис. 4.1)

Используя обозначения (4.4)—(4.7), представляем контурные уравнения (4.3) в канонической форме записи:

Анализируя выражения (4.8), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть уравнения, составленная для г-го контура, представляет собой сумму членов, один ив которых равен произведению контурного тока i-го контура на его собственное сопротивление, а остальные — произведениям контурных токов других контуров на общие сопротивления i-го контура и этих контуров; правая часть уравнения i-го контура содержит только один член — контурную ЭДС этого контура.

Полученные результаты могут быть обобщены для произвольной линейной цепи, составленной из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения.

или в матричной форме

где п = р - q + 1— число независимых контуров рассматриваемой цепи;

— матрица контурных сопротивлений;

— матрицы-столбцы контурных токов и контурных ЭДС.

Для линейных цепей, состоящих только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения, матрица контурных сопротивлений квадратная, причем вследствие того, что для таких цепей всегда выполняется условие Z(ij) = Z00, матрица Z(y) симметрична относительно главной диагонали.

Таким образом, зная структуру контурных уравнений и выбрав главные контуры рассматриваемой линейной цепи, нетрудно сформировать систему контурных уравнений, не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия цепи. Рекомендуемый порядок составления контурных уравнений:

  • 1) построение графа цени, выбор дерева графа, выделение соответствующей выбранному дереву системы главных контуров;
  • 2) определение числа контурных уравнений п (числа главных контуров) и запись контурных уравнений в виде
  • (4.9) или (4.10);
  • 3) нахождение элементов матриц контурных сопротивлений и контурных ЭДС в соответствии с определениями собственного сопротивления Z^ и контурной ЭДС ?ф) /-го контура, а также общего сопротивления /-го и j-го контуров Z(vy

Решая систему уравнений (4.10) любым из методов, можно найти неизвестные контурные токи цепи. Например, применяя формулы Крамера, запишем выражение для контурного тока k-ro контура:

где А — определитель системы уравнений (4.10); А^ — алгебраическое дополнение элемента этого определителя. В аналогичной форме могут быть записаны выражения для контурных токов всех остальных контуров.

Следует отметить, что формулы Крамера, позволяющие получить в явной форме аналитические выражения для контурных токов, нашли применение лишь при теоретическом исследовании свойств электрических цепей. Вычисление контурных токов при п > 3 с помощью формул Крамера является весьма трудоемким. Поэтому на практике обычно используют более экономичные методы, такие, например, как метод исключения Гаусса или /.{/-преобразование [8,9].

Если электрическая цепь помимо сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения содержит также независимые источники тока, то последние с помощью рассмотренных в п. 2.6 преобразований можно заменить независимыми источниками напряжения. Однако систему контурных уравнений такой цепи можно составить и не прибегая к преобразованию источников.

Пусть в состав исследуемой цепи входит рит ветвей, включающих независимые источники тока. Выберем дерево цепи таким образом, чтобы все ветви с источниками тока вошли в состав главных ветвей. Очевидно, что контурные токи контуров, которые замыкаются главными ветвями, содержащими источники тока, равны токам соответствующих независимых источников. Эти токи заданы и не требуют определения. Таким образом, число неизвестных контурных токов становится меньше числа независимых контуров п= р- q + 1 нарш. Для нахождения неизвестных контурных токов необходимо составить систему из п - рш = р- рпт - q + 1 контурных уравнений для контуров, не содержащих ветвей с источниками тока. Контурные уравнения такой цепи могут быть записаны в такой же форме, как и контурные уравнения цепи, не имеющей источников тока ((4.9), (4.10)), однако матрица контурных сопротивлений в этом случае не будет квадратной: число столбцов матрицы будет равно числу независимых контуров п= р - q + 1, а число строк — числу неизвестных контурных токов р - рит - q + 1. Матрица-столбец контурных токов в этом случае будет включать в себя все контурные токи — как известные, так и неизвестные, а матрица контурных ЭДС будет включать в себя только контурные ЭДС тех контуров, контурные токи которых неизвестны. После формирования контурных уравнений в форме (4.9), (4.10) входящие в каждое уравнение члены, содержащие известные контурные токи, переносят в правую часть соответствующих уравнений и матрица контурных сопротивлений становится квадратной.

Пример 4.4. Составим систему контурных уравнений для цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Число ветвей этой цепи р = 6, число узлов <7 = 4, число ветвей, содержащих источники тока, рнт = 1.

Выберем дерево графа цени таким образом, чтобы ветвь с источником тока вошла в число главных ветвей. Соответствующая выбранному дереву система независимых контуров изображена на рис. 4.2, б. В связи с гем, что число независимых контуров цепи равно/? - <7 + 1 = 3, а число неизвестных контурных токов р - рит - <7 + 1=2, система контурных уравнений имеет вид

где /ц = /2, /22 = /4 — неизвестные контурные токи первого и второго контуров; /33 = /5 = J — известный контурный ток третьего контура; Z(n> = Z2 + Z3, Z(22) = Z3 + Z4 + Z6 — собственные сопротивления первого и второго контуров; Z(l2) = Z(2) 7 = -Z3, Z(23> = -Z(j, Z(13) = 0 — общие сопротивления; Ец = Е, Е22 = 0 — контурные ЭДС первого и второго контуров.

Перенося члены, содержащие известный контурный ток, в правую часть уравнений и выражая собственные и взаимные сопротивления контуров через параметры элементов цепи, окончательно получаем

Таким образом, система контурных уравнений рассматриваемой цепи содержит два уравнения, позволяющих определить два неизвестных контурных тока.

Метод КТ можно использовать и для составления уравнений электрического равновесия цепей со связанными индуктивностями, однако алгоритм формирования матрицы контурных сопротивлений при этом значительно усложняется.

При анализе цепей с взаимной индуктивностью целесообразно либо заменять связанные индуктивности участками цепей, не содержащими связанных индуктивностей, либо формировать уравнения электрического равновесия с помощью метода ТВ.

Метод узловых напряжений используется при составлении уравнений электрического равновесия цепи по методу напряжений ветвей в качестве независимых переменных были использованы р - рт1 неизвестных напряжений ветвей. Принимая во внимание, что напряжения ветвей связаны р — q + 1 уравнениями баланса напряжений, число независимых напряжений, относительно которых формируется система уравнений электрического равновесия цепи, может быть уменьшено до iP ~Pw п )~(Р~д+^) = д ~Рш - 1- Эти независимые напряжения могут быть выбраны различным образом. Если дерево графа цепи построено так, что все вырожденные ветви, содержащие только независимые источники напряжения, вошли в число ветвей дерева, то в качестве независимых переменных можно принять неизвестные q - /?ин - 1 напряжения ветвей дерева. Такой метод формирования сокращенной системы уравнений электрического равновесия цепи называется методом напряжений ветвей дерева (НВД).

В качестве независимых переменных, относительно которых формируют уравнения электрического равновесия цепи, можно использовать также так называемые узловые напряжения, т.е. напряжения независимых узлов цени относительно базисного. Нетрудно показать, что напряжения всех ветвей электрической цепи могут быть выражены через ее узловые напряжения. Действительно, напряжение некоторой ветви, включенной между г-м и базисным узлами, равно узловому напряжению г-ro узла Й,0, взятому со знаком «плюс» (рис. 4.3, а) или «минус» (рис. 4.3, б) в зависимости от направления напряжения этой ветви, а напряжение ветви, включенной между г-м и j-м узлами (рис. 4.3, в), — разности узловых напряжений этих узлов 0,о - Й;0.

К определению понятия узлового напряжения

Рис. 43. К определению понятия узлового напряжения

Если исследуемая цепь не содержит вырожденных ветвей, составленных только из независимых источников напряжения, то все q - 1 неизвестных узловых напряжений независимы. Если цепь содержит рш ветвей, состоящих только из независимых источников напряжения, то узловые напряжения рШ1 узлов могут быть выражены через q-pm{ - 1 неизвестных узловых напряжений, выбранных в качестве независимых, и рШ1 напряжения ветвей, состоящих только из независимых источников напряжения. Для определения неизвестных узловых напряжений составляется q - рин - 1 уравнений электрического равновесия цепи, называемых узловыми. Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве независимых переменных используются неизвестные напряжения независимых узлов относительно базисного, называется методом узловых напряжений (УН).

Несмотря на то, что число независимых переменных и, следовательно, число одновременно решаемых уравнений для методов НВД и УН получается одинаковым, метод узловых напряжений получил более широкое распространение на практике, так как при построении сокращенной системы уравнений электрического равновесия цепи этим методом в большинстве случаев не требуется привлечения топологических представлений, в частности выполнения трудоемкой для сложных цепей операции построения дерева.

Рассмотрим методику формирования узловых уравнений на примере цепи, не содержащей источников напряжения (рис. 4.4). Исследуемая цепь получена из цепи, схема которой изображена на рис. 4.1, а, путем преобразования источников напряжения в источники тока и замены комплексных сопротивлений ветвей их комплексными проводимостями. Она имеет три независимых узла, для которых можно составить уравнения баланса токов:

Выразим неизвестные токи ветвей цепи через напряжения этих ветвей, а напряжения ветвей — через соответствующие узловые напряжения:

К составлению уравнений электрического равновесия

Рис. 4.4. К составлению уравнений электрического равновесия

методом УН

Подставляя выражения (4.13) в систему (4.12), получаем систему уравнений для определения трех неизвестных узловых напряжений:

Для того чтобы сформулировать алгоритм формирования этой системы уравнений непосредственно по схеме рассматриваемой цени, введем ряд новых понятий.

Собственной проводимостью г-го узла назовем сумму проводимостей всех ветвей, подключенных к данному узлу. Для рассматриваемой цепи

Общая (взаимная) проводимость i-го и у'-го узлов %> - это сумма проводимостей всех ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятая с противоположным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные непосредственно между г-м иу-м узлами, то = 0. Для цени, схема которой приведена на рис. 4.4,

Узловым током ji0 i-го узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к данному узлу. Если ток какого-либо источника тока направлен к i-му узлу, то он входит в выражение для Ji0 со знаком «плюс», если ток направлен от i-го узла, то — со знаком «минус». Для рассматриваемой цепи

Используя обозначения (4.14)—(4.16), представим узловые уравнения исследуемой цепи в канонической форме записи:

Таким образом, левая часть узлового уравнения, составленного для i-го независимого узла, есть сумма слагаемых, одно из которых равно произведению узлового напряжения i-го узла на его собственную проводимость, а остальные — произведениям узловых напряжений других независимых узлов на взаимные проводимости i-го узла и этих узлов. Правая часть уравнения равна узловому току i-того узла.

Для линейной электрической цепи, имеющей т = q — 1 независимых узлов и состоящей только из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников тока, система узловых уравнений может быть записана в виде

или

где

— матрица узловых проводимостей цепи;

— матрицы-столбцы узловых напряжений и узловых токов. В связи с тем, что для цепей рассматриваемого типа всегда выполняется условие = Уфу матрица узловых проводимостей таких цепей квадратная и симметричная относительно главной диагонали.

Таким образом, составление узловых уравнений, так же как и составление контурных уравнений, можно производить непосредственно по схеме электрической цепи, не прибегая к составлению основной системы уравнений электрического равновесия. При этом запись уравнений электрического равновесия цепи по методу УН дополнительно упрощается вследствие тогоу что в этом случае не возникает необходимости в определении системы независимых контуров и построении дерева графа исследуемой цепи.

Рекомендуемый порядок составления узловых уравнений:

  • 1) преобразование исходной электрической цепи (замена сопротивлений ветвей их проводимостями, переход от последовательных схем замещения источников к параллельным);
  • 2) выбор независимых узлов преобразованной цепи;
  • 3) определение числа узловых уравнений (числа неизвестных напряжений независимых узлов относительно базисного) и запись узловых уравнений в форме (4.18) или (4.19);
  • 4) нахождение элементов матриц узловых проводимостей и узловых токов в соответствии с определениями собственной проводимости и узлового тока Ji0 i-го узла, а также общей проводимости i-ro и j-rо узлов У(;)).

Решая систему узловых уравнений любым из методов, определяют неизвестные узловые напряжения. Так, используя формулы Крамера, найдем узловое напряжение k-ro узла:

где А — определитель системы уравнений (4.19); — алгебраическое дополнение элемента У^ этого определителя.

Если в рассматриваемой цепи наряду с перечисленными элементами содержатся также вырожденные источники напряжения, которые не могут быть заменены на источники тока непосредственно путем преобразования комплексных схем замещения источников, то их нужно удалить из схемы, используя преобразования переноса источников (см. п. 2.6). В то же время узловые уравнения могут быть составлены и для цепи, содержащей источники напряжения.

В простейшем случае исследуемая цепь может содержать рш источников напряжения, имеющих общую точку. Выберем в качестве базисного узел, к которому подключены все источники напряжения. Тогда узловые напряжения рШ1 узлов, к которым подключены вторые полюсы источников напряжения, будут равны ЭДС этих источников, взятым со знаком «плюс» или «минус»; при этом число неизвестных узловых напряжений уменьшается до q - 1 т. Узловые уравнения такой цени формируются только для узлов, к которым не подключены источники напряжения; в левой части узловых уравнений, так же как и в выражениях (4.18), (4.19), учитываются все узловые напряжения, как известные, так и неизвестные. Матрица узловых проводимостей цепи, содержащей независимые источники напряжения, не будет квадратной: число столбцов этой матрицы равно числу независимых узлов т = q - 1, а число строк — числу неизвестных узловых напряжений q - рпп - 1. После формирования системы уравнений электрического равновесия цепи в виде (4.18), (4.19) члены, содержащие известные узловые напряжения, переносят в правую часть соответствующих уравнений, в результате чего матрица узловых проводимостей становится квадрат! гой.

Пример 4.5. Используя метод узловых напряжений, составим уравнения электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Эта цепь содержит q - 1=3 независимых узла и имеет один источник напряжения Е, включенный между базисным узлом и_узлом 1. Узловое напряжение этого узла 6'| о известно и равно Е. Для определения неизвестных узловых напряжений 0->о и (/3о составляем два узловых уравнения:

111 11^

где К(22) = — + — + У<33) = — + — - собственные прово-

Z2 Z8 Z4 Z4 z6

димости узлов 2 и 3; У(31) = О, У(21) = - - , У(23) = У(32) “ - ~ -

z2 z4

общие проводимости.

Перенося члены, содержащие известное узловое напряжение Uо - Е, в правую часть уравнений и выражая собственные и взаимные проводимости узлов через параметры элементов цепи,находим

Аналогичная система уравнений электрического равновесия цепи получается и в том случае, когда источник напряжения Е заменяют источником тока E/Z2, подключенным между узлом 2 и базисным узлом (узел 1 в этом случае устраняется).

Если цепь содержит несколько вырожденных источников напряжения у не имеющих общей точки у то формирование узловых уравнений производится следующим способом:

  • • строится дерево графа цепи так, чтобы все рш вырожденных ветвей, составленных только из источников напряжения, вошли в состав ветвей дерева;
  • • выбирается q - 1 - рт1 независимых узлов, узловые напряжения которых являются неизвестными; напряжения остальных рпИ независимых узлов выражаются через неизвестные узловые напряжения и напряжения рш ветвей, состоящих только из источников напряжения;
  • • для q- 1 ш главных сечений, соответствующих невырожденным ветвям дерева, составляются уравнения баланса токов;
  • • неизвестные токи ветвей, входящих в уравнения баланса токов, выражаются через q - 1 - рИН неизвестных узловых напряжения.

Пример 4.6. Составим узловые уравнения цепи (рис. 4.5, я), не применяя переноса источников.

Выберем дерево графа рассматриваемой цепи так, чтобы в него вошли обе ветви, составленные только из источников напряжения (рис. 4.5, б). Данная цепь содержит q - 1=4 независимых узла, причем узловое напряжение первого узла известно (?/10 = Е i), а узловые напряжения второго и третьего узлов связаны между собой уравнением баланса напряжений: ?У30 - ?/20 = Таким образом, только два узловых напряжения могут быть выбраны независимо. Выберем в качестве независимых узловые напряжения второго и четвертого узлов U2о и UA0. В этом случае ?/30 = ?/20 - Еь Для главных сечений 4 и 5,

К примеру 4.6

Рис. 4.5. К примеру 4.6

не содержащих вырожденных ветвей дерева, составим уравнения баланса токов:

Выражая входящие в эти уравнения неизвестные токи через неизвестные узловые напряжения

получаем два уравнения для определения двух неизвестных узловых напряжений:

Как очевидно из примера 4.6, при анализе цепей, содержащих вырожденные ветви с источниками напряжения, не имеющими общей точки, метод УН теряет одно из своих главных достоинств — возможность построения сокращенной системы уравнений без привлечения топологических представлений. Как и метод НВ, метод УН не может быть использован для анализа цепей с взаимной индуктивностью при kM = 1.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >