Пример расчета резистивной цепи разными методами

Для закрепления материала и более глубоко понимания рассмотренных в этой главе методов анализа, выявления их особенной и сравнительной оценки выполним численные расчеты приведенной на рис. 2.4.1 цепи методом наложения с преобразованием топологии исходной схемы, методом законов Кирхгофа, методом контурных токов и методом узловых напряжений.

  • 1. Метод наложения и принцип взаимности. Последовательность расчетов:
    • • из исходной цени исключается источник напряжения (ЭДС) Е2 путем короткого замыкания его зажимов;
    • • схема с одним источником напряжения и пятью резисторами последовательным преобразованием сводится к схеме с одним резистором;
    • • в обратном порядке увеличением числа резисторов цепи определяются токи каждого из них.

Подобные расчеты выполняются для цепи с одним источником напряжения Е2, после чего производится алгебраическое (с учетом направления) сложение токов в каждом резисторе. Напряжение на резисторах рассчитываются по формуле URn = RnIn (п = 1,..., 5).

Последовательность расчетов проиллюстрирована на рис. 2.4.2. Результаты расчетов сведены в табл. 2.4.1.

Принцип взаимности. Если из цепи на рис. 2.4.1 последовательно изъять источники Е2, Ех и измерить токи IRV IR5, то согласно принципу взаимности их значения должны быть

Исходная цепь для расчета различными методами

Рис. 2.4.1. Исходная цепь для расчета различными методами

Расчет цени методом преобразования схем с использование принципа наложения

Рис. 2.4.2. Расчет цени методом преобразования схем с использование принципа наложения

Таблица 2.4.1

Токи

Ir> а

Ir2, а

^/?з> А

//?4* А

А

?, * 0; Е2 = 0

1,000

0,500

0,500

0,250

0,250

Е{ = 0; Е2 *? 0

0,250

0,042

0,292

0,854

1,146

Еj ^ 0; Е2 ф 0

0,750

0,542

0,208

1,104

0,896

Напряжения

Ц»1.В

^.В

Urз, В

Ura, В

?Ъ»в

Е ф 0; Е‘2 ^ 0

0,750

3,252

1,040

2,208

1,792

одинаковыми. Как очевидно из первых двух строк табл. 2.4.1, действительно IR{ = IR5 = 0,250 А.

2. Метод законов Кирхгофа. Цепь на рис. 2.4.1 содержит пять резисторов, поэтому для ее описания должно быть сформировано пять уравнений. В качестве независимых узлов выберем узлы 1 и 2, независимых контуров — контуры I, II и III. На основании законов Кирхгофа составим систему топологических уравнений

Систему (2.4.1) дополним компонентными уравнениями:

Соотношения (2.4.2) позволяют выбрать неизвестными как токи, так и напряжения, т.е. можно построить много систем уравнений с пятью неизвестными. Например, после подстановки URn в уравнения (2.4.1) для контуров получим систему уравнений относительно токов:

В результате решения системы (2.4.3) находим токи, после чего с помощью (2.4.2) определяем напряжения.

Если в (2.4.1) с помощью (2.4.2) исключить токи, получим систему уравнений, в которой неизвестными являются напряжения

3. Метод контурных токов. Для составления уравнений воспользуемся схемой на рис. 2.4.3. В качестве неизвестных выберем контурные токи, поскольку с их помощью можно выразить ток каждого резистора

Для описания схемы воспользуемся уравнениями (2.4.1) для контуров, в которых с помощью компонентных уравнений (2.4.2) произведем замену напряжений на токи, после чего получим следующую систему уравнений:

В результате решения системы уравнений находим контурные токи 1Х = 0,750 А, /2 = 0,208 А, /3 = 0,896 А, после чего вычисляем токи резисторов (2.4.5):

Схема для расчета цепи методом контурных токов

Рис. 2.4.3. Схема для расчета цепи методом контурных токов

4. Метод узловых напряжений. Для составления уравнений равновесия используется закон Кирхгофа для узлов. Однако соотношения (2.4.1) для этой цели не подходят, поскольку в них фигурируют непосредственно токи резисторов, которые выражаются через напряжения источников, а не через узловые напряжения. Поэтому, используя теорему об эквивалентом генераторе, от источников напряжения перейдем к источникам тока (рис. 2.4.4, а), где Gu = l/Rit Gj2 = 1 /R-у После объединения сопротивлений получим схему (рис. 2.4.4, б) для составления уравнений равновесия, в которой./, - ?,/Д, =4/1 =4 A-J2 = E2/R5 = 4/2 = 2 A; G, = 1/Д, + + 1/Д2=1/1 + 1/6=7/6 Сим; С2 = 1 /Ra + 1 /R5= 1/2 + 1/2 = = 1 Сим; G3 = 1//?3 = 1/5 Сим.

Система уравнений для схемы на рис. 2.4.4, б имеет вид

где ?/,, U2 напряжения узлов 1 и 2 относительно опорного

узла 0.

В результате решения системы уравнений находим Ux - 3,250 В, U2 - 2,208 В. По найденным напряжениям определяем токи резисторов IR2, IR3 и /Д4 (см. рис. 2.4.4, а):

Для определения токов, протекающих через резисторы // и R5, следует обратиться к схеме на рис. 2.4.1. Их значения вычисляются по следующим формулам:

Все методы анализа дают одинаковые результаты. Метод наложения не связан с решением каких-либо уравнений и сводится к определению сопротивления, подключенного

Puc. 2.4.4. Построение схемы для расчета исходной цепи методом узловых напряжений

к источнику напряжения (и в общем случае тока). Использование методов контурных токов и узловых напряжений сокращает вычислительные затраты по сравнению с методом законов Кирхгофа.

Контрольные вопросы и задания

  • 1. Каковы особенности резистивных цепей? Почему на их примере целесообразно изучать методы и основополагающие принципы электрических цепей?
  • 2. Что лежит в основе преобразования электрических цепей? Каковы особенности преобразования двухполюсных и трехполюсных цепей, источников напряжения и тока?
  • 3. Дайте краткую характеристику основных топологических методов анализа цепей (метода преобразования цепи, метода законов Кирхгофа, метода контурных токов, метода узловых напряжений) и их сравнительную оценку.
  • 4. В чем состоит суть принципа и метода наложения, метода эквивалентного источника, теоремы взаимности и принципа замещения (компенсации)?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >