Вывод соотношения, связывающего плотность энергии электромагнитного поля и вектор Умова - Пойнтинга

Докажем тождество

Вычислим векторное произведение векторов Е и // по формуле

Вычислив определитель, получим

Теперь найдем дивергенцию этого выражения:

Раскроем скобки и сгруппируем полученные слагаемые следующим образом-

Как следует из формулы (10.20), первые три выражения в круглых скобках, следующие за координатами вектора В , есть координаты вектора rot Е , выражения в круглых скобках, следующие за координатами вектора Е , есть координаты вектора rot Н . Таким образом, тождество (10.22) доказано.

Вычислим производную от плотности энергии w по времени t. Согласно формуле (10.11) с учетом формул (10.10) будем иметь

Преобразуем это выражение при помощи уравнений (10.1) и (10.3), записав их в виде

С учетом тождества (10.22) придем к уравнению

Получим

где

- вектор Умова - Пойнтинга.

Дифференциальному уравнению (10.23) соответствует интегральное уравнение (10.14)

Чтобы доказать это, проинтегрируем обе части уравнения (10.23) по некоторому объему V. Получим

Левую часть этого равенства можно записать так:

где

- энергия электромагнитного поля, заполняющая объем V в момент времени t. Первый интеграл в правой части

есть мощность джоулева энерговыделения, т.е. тепло, которое выделяется в объеме V за единицу времени вследствие прохождения электрического тока по веществу в этом объеме. Интеграл от дивергенции по объему V, используя теорему Остроградского - Гаусса, можно преобразовать в интеграл по поверхности 5, ограничивающей этот объем:

Таким образом, придем к уравнению (10.14).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >