Табличный способ определения формул логики

Условия истинности сложных суждений, состоящих из простых категорических суждений, основываются на абстракции двузначности. Абстракция двузначности постулирует, что любое суждение может быть либо истинным, либо ложным; третьего не дано. Истинность или ложность называется логическим значением суждения. Истинным считается суждение, в котором связка устанавливает отношения признака и предмета верно («2 + 2 = 4», «Кит — млекопитающее»). Если это отношение не соответствует действительности, то такое суждение считается ложным («2 + 2 = 5», «Кит — рыба»).

Логики, где принята эта абстракция, называются классическими, двухзначными, или бивалентными.

В реальной жизни есть суждения, которые имеют более двух логических значений.

Например, суждение «За окном идет дождь» может принять одно из двух логических значений — истина или ложь. Для суждения «Завтра будет дождь» возможны три значения — истина, ложь и неопределенность.

Поэтому неклассическая логика допускает три (истинно, ложно и неопределенно) и более значений истинности.

Мы ограничимся двухзначной логикой и будем обозначать истинное высказывание символом «И» или 1, ложное — «Л» или 0.

Тогда все формулы логики высказываний можно разделить на три класса:

  • 1) нейтральные (разрешимые) — высказывания, значения которых зависят от значения переменных и могут быть как истинными, так и ложными.
  • 2) всегда истинные (тождественно-истинные, тавтологии), обозначаются буквой «И», — высказывания, которые при любых значениях переменных принимают только значение истина;
  • 3) всегда ложные (тождественно-ложные, противоречия), обозначаются буквой «Л», — высказывания, которые при любых значениях переменных принимают значение ложь.

Тавтологию и тождественно-ложное высказывание называют также логическими константами, ибо их логическое значение постоянно: И или Л. Принципиально важным здесь является то обстоятельство, что логические значения тавтологий (равно как тождественно-логических формул) не зависят от значений логических переменных, а определяются исключительно логической структурой высказываний.

В соответствии с тремя типами формул говорят о трех видах сложных суждений: всегда истинные, всегда ложные и нейтральные. Тождественно-истинные формулы соответствуют логически корректным суждениям, тождественно-ложные выражают логические противоречия.

Одним из способов определения истинностного значения формул логики является табличный.

Построение таблицы истинности для анализа конкретной формулы проходит в несколько этапов.

  • 1. Определение числа переменных.
  • 2. Определение количества строк (N) в таблице. Это число можно найти с помощью формулы

в которой п — количество переменных в данном высказывании.

  • 3. Перечисление в таблице всех возможных и неповторяющихся сочетаний значений истинности всех переменных. Принцип перебора этих значений: в строках под первой переменной чередуются значения И и Л, под второй переменной чередуется последовательность двух значений И и двух Л, под третьей — четырех И и четырех Л и т. д. (для каждой последующей переменной количество чередующихся значений И и Л будет удваиваться).
  • 4. С учетом установленных в математике свойств технических знаков (скобок), выделение в составе формулы всех подформул (начиная от элементарных и кончая самой формулой).
  • 5. Последовательное установление значения истинности каждой из составных частей высказывания при каждом наборе переменных, то есть в каждой строчке.
  • 6. Выяснение, к какому виду принадлежит анализируемое высказывание в целом.

Определим в качестве примера табличным способом значение формулы ((р —^ Cj) Л p)->q.

Число переменных в ней — 2. Значит, количество строк в таблице — 4.

Составим таблицу истинности для этой формулы, разбив ее на подформулы, и последовательно установим значение истинности каждой из составных частей высказывания (табл. 3).

Таблица 3

р

q

р ^ q

(Ср —> Я)лр)

((р->я)лр)^я

и

и

и

и

и

л

и

и

л

и

и

л

л

л

и

л

л

и

л

и

Оказывается, полученная формула принимает значение истина при любых наборах значений входящих в нее переменных, то есть является тождественно-истинной, или тавтологией.

Для сокращения процедуры вместо того, чтобы выписывать отдельно каждую подформулу, можно подписывать ее значения под знаком последней операции в ее построении (этот знак называется главным знаком подформулы). Значение всей формулы указывается в столбце под знаком импликации (—>), который является знаком последней операции в построении всей формулы, то есть главным знаком этой формулы.

Построим теперь таблицу истинности для формулы (р v (q л г)) л л (р —> (q л г)), которая содержит три переменные.

Число строк в таблице будет равно 2П, то есть восьми (табл. 4).

Таблица 4

р

q

г

qAr

pv(qAr)

(p->(qvr))

Р v (q л г)) а (р —> (q л г))

и

и

и

и

и

И

И

л

и

и

и

и

и

И

и

л

и

л

и

л

л

л

л

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

л

л

л

и

л

л

л

и

л

и

л

л

л

и

л

л

л

л

л

л

л

и

л

Из таблицы следует, что приведенная формула принимает при одних наборах значений логических переменных значение истина, а при других — значение ложь, то есть является нейтральной.

Табличное определение логических формул, вместе с тем, не является достаточно эффективным для определения того, к какому из трех классов принадлежит логическая формула. Дело в том, что при большом числе переменных процесс построения таблицы оказывается практически сложным делом, так как при п переменных число строк в таблице — 2П. Значит, чтобы определить, например, является ли тавтологией формула ((pA(qvr)As)—>t)As)—> Т необходимо составить таблицу из 32 строк. Поэтому для разрешения этой проблемы пользуются иными средствами, опирающимися на законы логики высказываний.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >