Равносильность суждений

В логике очень часто встречаются высказывания, которые принимают одинаковые логические значения при одних и тех же значениях составляющих. Такие высказывания называются равносильными (эквивалентными).

Понятно, что все тождественно-истинные формулы (равно как и тождественно-ложные) равносильны друг другу. Поэтому проблема установления равносильности суждений существует только для нейтральных формул.

В качестве примера установим, равносильны ли суждения:

  • 1) «На улице темно и сыро»;
  • 2) «Неверно, что на улице не темно или не сыро».

Для этого сначала формализуем их:

Составим таблицу истинности (табл. 5).

Таблица 5

р

q

р

q

рля

Pvq

pvq

и

и

л

л

и

л

И

л

и

и

л

л

и

л

и

л

л

и

л

и

л

л

л

и

и

л

и

л

Очевидно, что одинаковым наборам логических значений переменных р и q соответствуют одинаковые логические значения формул, следовательно, данные высказывания (и выражающие их формулы) равносильны.

При определении равносильности обычно пользуются сокращенными таблицами:

Равносильность формул обозначается обычным знаком равенства:

Неравносильность — перечеркнутым знаком равенства О).

Так, результаты о тождественной истинности формулы р v р и тождественной ложности формулы р л р можно записать следующим образом:

Наличие равносильных формул позволяет заменять одни логические формулы другими, равносильными данным, то есть производить эквивалентные преобразования, заменяя, как в математике, равное равным. Это обстоятельство оказывается чрезвычайно важным, ибо, установив равносильность некоторых формул логики с помощью таблиц истинности, можно в дальнейшем к ним не обращаться, используя соответствующие эквивалентные преобразования (равную замену).

Например, импликация р —»q равносильна дизъюнкции р v q (табл. 6).

Таблица б

р

q

р

Pvq

p^q

и

и

л

И

и

л

и

и

и

и

и

л

л

л

л

л

л

и

и

и

Эквиваленция poq равносильна конъюнкции импликаций (р —»q) л л (q —> р) (табл. 7).

Учитывая предыдущий результат о том, что импликация равносильна дизъюнкции р —» q = р v q, можно полученную равносильность записать следующим образом:

Строгая дизъюнкция руцэквивалентна формуле (pvq)A(pvq) (табл. 8).

Таблица 7

р

q

p^q

q^p

Ср —> q) л (q —> р)

р ^ q

и

и

И

И

И

и

л

и

И

Л

Л

л

и

л

л

и

л

л

л

л

и

и

и

и

Таблица 8

р

q

р

q

Pvq

pvq

(Р v q) л (р v q)

Pvq

и

и

л

л

И

Л

Л

Л

л

и

и

л

И

И

И

и

и

л

л

и

и

и

и

и

л

л

и

и

л

и

л

л

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >