Законы логики высказываний

Закон логики — это формула, принимающая значение истина при любых значениях входящих в нее пропозициональных переменных. Приведем наиболее важные законы, используя отношение эквивалентности, то есть как соответствующие равносильности.

  • 1. Законы выражения одних логических союзов через другие:
    • а) закон удаления знака импликации:

б) законы удаления знака эквиваленции:

в) законы удаления знака строгой дизъюнкции:

г) закон выражения эквиваленции через строгую дизъюнкцию:

д) закон выражения строгой дизъюнкции через эквиваленцию:

2. Закон противоречия:

Высказывание р и его отрицание р одновременно никогда не выполняются. Нельзя что-то утверждать и отвергать одновременно.

Например, высказывания «У Земли есть спутник» и «У Земли нет спутника» не могут одновременно быть истинными.

3. Закон исключения третьего:

Хотя бы одно из высказываний р или р всегда истинно; третьего не дано.

Например, одно из противоречащих друг другу суждений «Сейчас идет дождь», «Сейчас нет дождя» должно быть непременно истинным.

4. Законы исключения логических констант:

Конъюнктивное присоединение логической константы И (тождественно-истинного высказывания) к нейтральному высказыванию р ничего не меняет; дизъюнктивное присоединение константы Л (тождественно-ложного высказывания) к нейтральному высказыванию р также ничего не меняет.

5. Законы исключения логических переменных:

Дизъюнктивное присоединение константы И делает всю дизъюнкцию истинной; конъюнктивное присоединение константы Л делает всю конъюнкцию ложной.

6. Законы идемпотентности:

Конъюнкция (дизъюнкция) высказывания с самим собой дает то же самое высказывание.

Законы идемпотентности свидетельствуют об отсутствии в логике высказываний показателей степеней (15) и коэффициентов (16).

7. Законы коммутативности (перестановки):

Порядок, в котором осуществляются операции конъюнкции или дизъюнкции, не влияет на логическое значение формулы.

Например, высказывание «Я учусь в институте и (или) занимаюсь спортом» равносильно высказыванию «Я занимаюсь спортом и (или) учусь в институте».

8. Законы ассоциативности (группировки):

Если в формуле стоят одинаковые знаки конъюнкции (дизъюнкции), то скобки можно ставить произвольно или вовсе опускать

9. Законы дистрибутивности (распределения):

Закон (21) можно проиллюстрировать такой парой равносильных высказываний. Левая часть: «Я учусь в институте и в тоже время занимаюсь спортом или играю в любительском театре». Правая часть: «Я учусь в институте и занимаюсь спортом или я учусь в институте и играю в любительском театре». Этот закон говорит о том, что в алгебре высказываний можно открывать скобки так же, как и в обычной алгебре. Сравните: а (в + с) = ав + ас.

10. Законы поглощения:

Высказывания q (23)—(24), р (25)—(26), р (27)—(28) как бы поглощаются в данных случаях. Это позволяет упрощать логические формулы и соответствующие высказывания.

Например, высказывание «Я учусь в институте, и я учусь в институте или работаю на заводе» равносильно высказыванию «Я учусь в институте».

  • 11. Законы операции отрицания:
    • а) законы отрицания логических констант:

б) закон двойного отрицания:

Отрицание отрицания какого-либо высказывания равносильно первоначальному высказыванию.

Например, если высказывание «Сегодня состоится матч» (р) последовательно дважды отрицать «Сегодня не состоится матч» (р), «Неверно, что сегодня не состоится матч» (р), то мы возвратимся к исходному высказыванию «Сегодня состоится матч».

в)законы де Моргана:

Отрицание конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицаний (32) и отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний (33).

Например, высказывание «Неверно, что я учусь в институте и занимаюсь спортом» равносильно высказыванию «Я не учусь в институте, или я не занимаюсь спортом» (первый закон де Моргана). Высказывание «Неверно, что я учусь в институте или занимаюсь спортом» равносильно высказыванию «Я не учусь в институте и не занимаюсь спортом» (второй закон де Моргана).

Все законы логики высказываний легко доказываются с помощью таблиц истинности. В качестве примера составим таблицу истинности для проверки первого закона де Моргана (табл. 9).

Таблица 9

р

q

р

q

pAq

PAq

Pvq

и

и

л

л

И

Л

Л

л

и

и

л

л

И

И

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

и

л

и

и

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >