Гипотеза о неизвестном параметре Λ в показательном распределении
Теоретическая задача 15.11. Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром X. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н0: X = Х0, если альтернативная гипотеза Ну X = Хг > Х0 . Построить критерий отношения правдоподо-
л 1
бия, если точечная оценка Х=— получена ММП-методом.
х
Решение. Введем обозначение 0 = —= х. Напомним, что при переходе
X
к обратным величинам знак неравенства меняется: если > Х0 > 0, то — <—. Точечная оценка 0 как арифметическое среднее асимптотиче-
A_i Xq
0-М(0) d
ски нормальна: — -—>N(0,1). Гипотеза Н0 отклоняется, если слу-
ч
чайная величина г| попадет в промежуток r| < -хкр. Вероятность этого события Р{ц < -хкр} = а. Квантиль хкр находится из равенства
Фо(*кр)=”01-
В предположении, что верно X = Х0, найдем М(0) и D(0):
Подставим результат в неравенство ц < -хкр. Полним
Итак, если последнее неравенство выполняется, отклоняем гипотезу Н0 и принимаем гипотезу Нг.я
Пример 15.6. Известно, что срок службы энергосберегающей лампы распределен по показательному закону. Завод указывает на упаковке средний
срок службы — = 3000 ч. Использование 100 изделий показало, что их сред- Хо
ний срок службы составил 2400 ч. На уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что средний срок службы в действительности меньше.
Решение. Нулевая гипотеза Н0 :Х = Х0 = ? Альтернативная гипотеза
Ир X > Xq.
Условие отклонения гипотезы Н0: (хХ0-1 )[п < -хкр, где Ф0(хкр)=—-а.
Здесь Х0 =—-—, х = 2400, п = 100, хко =2,33. Имеем 0 3000 кр
что больше величины -хкр. Гипотеза Н0 принимается, т.е. с вероятностью 0,99 завод правильно указывает на упаковке срок службы энергосберегающей лампы.
Гипотеза о неизвестном параметре р в геометрическом распределении
Теоретическая задача 15.12. Для геометрически распределенной случайной величины на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н0: р =р0, если альтернативная гипотеза Нх: р > р0. Построить критерий отношения правдоподобия, если точечная оценка p=-z: получена ММП-методом. х
Решение. Введем параметр 0=4 = *- Статистика г| = ^ асим-
Р
птотически нормальна. Гипотеза Н0 отклоняется, если ц < -хкр, где xKD — квантиль нормального распределения, уравнение для вычисле-
НИЯ, которого Фо(хКр) = —-сх.
Найдем М(0) и D(0):
Условие отклонения гипотезы Н0:
Пример 15.7. Известно, что число покупок в магазине имеет геометрическое распределение. Супермаркет значительно сбросил цену на популярный продукт в надежде на то, что привлеченные этим покупатели заодно начнут покупать и другие продукты, на которые цена была несколько завышена. Доход магазина возрастет, подсчитали менеджеры, если покупатели будут уходить хотя бы с пятью покупками (р0 =--вероятность того, что покупатель
остановится на пятой покупке). Анализ выборки из 100 чеков показал, что покупатель делал в среднем 4,3 покупки. На уровне значимости 0,05 проверить, оправдана ли рекламная акция магазина.
Решение. Нулевая гипотеза Н0:р = р0= — . Альтернативная гипотеза Нрр > >Ро• 5
Условие отклонения гипотезы Н0: XJ>0 ^ Уп < -хкр, где величина хкр нахо-
лД ~Ро
дится из уравненияФ0(хкр) = ^-а.
Здесь р0 =—, х = 4,3, п = 100, х^р =1,645. Имеем
что больше величины -хкр. Гипотеза Н0 принимается. Рекламная акция магазина оправдана.
Гипотеза о неизвестном параметре Λ в распределении Лапласа
Теоретическая задача 15.13. Пусть случайная величина имеет распределение Лапласа с параметром А. Требуется на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н0: А = А0, если альтернативная гипотеза Нх: А > А0. Построить критерий отношения правдоподобия, если точечная оценка А =---получена ММП-методом.
П 1=1
А 1 1 И
Введем обозначения: 0=—=— ? I*; I. Точечная оценка 0 асимптоти-
А П;=1
е-мсё)d К1ГП..
чески нормальна: —. -->N(0,1).
УР(9)
г „ п „ в-М(в) ^
ГипотезаН0 отклоняется, если случайная величина ц=— < -хкр.
УП(0)
Если ц > —хкр, гипотеза Н0 принимается. Величина хкр находится из уравнения Ф0(хкр)=—-а.
Найдем М(0) и D(0):
Перепишем условие отклонения гипотезы Н0 с использованием выборки наблюдений, ее математического ожидания и дисперсии:
