Гипотеза о равенстве параметров Λ для показательного распределения
Теоретическая задача 15.21. Пусть хь х2, ..., х„ и ух, у2> ..., ут —
выборки из совокупностей, каждая из которых имеет показательное
распределение с параметрами Хг и Х2. Проверяется гипотеза Н0: X = Хг =
= Х2 при альтернативной Н1:Х1 < Х2 на уровне значимости а.
Решение. Несмещенные, состоятельные, эффективные оценки napa-
- 1 _ 1 _ 1 d ( 1 1 ) метров — -х9 — = у асимптотически нормальны: -—>N ,
- 1 d (i i ^
- --->N —,—- . Их разность при условии справедливости основной
^2 1^2 ТПк?2)
гипотезы Н0 принадлежит нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием:
Параметр — вычисляется с учетом всех измерений, давая эффектив- X
ную оценку
1 _ 1
X X
Вычисляем статистику ц=—2 ~ N(0,1) и сравниваем схкр, най-
Хп + т
денным по таблице Лапласа с использованием формулы Ф0(хкр) = -^-а. Выполнение неравенства ц < хкр позволяет принять гипотезу Н0.ш
Пример 15.11. Фирма А рекламирует свои, более дорогие, чем у конкурентов, батарейки, как самые долговечные. Для проверки длительности работы батареек было закуплено 100 батареек фирмы А и 100 батареек другой фирмы Б для цифровых фотоаппаратов со вспышкой. Выборочные испытания показали, что средний срок службы батареек фирмы А составил 100 снимков с фотовспышкой, фирмы Б — только 70. В предположении, что срок службы батарейки распределен показательно, проверить гипотезу о том, что средний срок службы батареек обеих фирм одинаков, на уровне значимости 1%. Решение. Основная гипотеза Н0: Х = Хг = Х2, альтернативная Ну. Xj < Х2.
Пусть х = -3- = 100, у = = 80 — среднее время жизни батареек обеих фирм,
A.J Х2
измеренное в фотовспышках. Эффективная оценка параметра — вычисляется
X
с учетом всех измерений:
Найдем статистику:
Сравним Г| схкр = 2,33 из таблицы Лапласа, полученном с учетом равенства 1
Ф0(х,ф) = — а = 0,49. Поскольку г| > хкр, гипотезаН0 отклоняется, гипотеза Н, принимается. Батарейки фирмы А служат дольше.
Гипотеза о равенстве вероятностей для геометрического распределения.
Теоретическая задача 15.22. По выборкамхьх2, ???,хп иу1,у2,...,ут получим оценки вероятностей в геометрических распределениях
и сравним их между собой. Возьмем — = х и — -у. Проверяется основ-
Р] Р'2
„ 1 1 1 „„11 ная гипотеза Н0: —=—=— вместе с альтернативной Я:: —> —
Р Pi Р2 Pi Pi
на уровне значимости ос.
Решение. Несмещенные, состоятельные, эффективные оценки пара-
1 - 1 - 1 d J 1 метров — = х, — = у асимптотически нормальны: ——>N —, Pi Р2 Pi lPi Pfnj р2 у Р2 Р2т) тезы Я0 Л Л Собираем статистику г|= .—_ —N(0,1) и сравниваем схкр, JWH) найденным по таблице Лапласа и формуле Фо(*Кр) = 2_а‘ ПРИ выпол' нении неравенства р < хкр принимаем гипотезу Н0. Параметр р при вычислении статистики р в формуле заменяется на его эффективную п т ’Lxi + 'Zyj 1 i=l /=1 оценку: —=---.? р п + т Пример 15.12. Каждый из стрелков двух команд А и Б по 100 человек в каждой стрелял по удаленной движущейся мишени до первого промаха. В команде А фиксировалось в среднем три попадания до промаха, в команде Б — 2,5. Число попаданий при стрельбе имеет геометрическое распределение. На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что команда А подготовлена лучше. Решение. Пусть р — вероятность промаха. Основная гипотеза Н0: р=рг = = р2, альтернативная Нр р, < р2. Введем х = — = 3,0, у = —= 2,5 — среднее Pi Р2 число выстрелов до промаха. Эффективная оценка параметра — вычисляется с учетом всех выстрелов: Р Найдем статистику: Сравним c xKD = 2,33 из таблицы Лапласа, полученным с учетом формулы 1 Ф0(хкр) = — - а = 0,49. Поскольку ц < хкр, гипотеза Н0 принимается. Утверждать, что команда А подготовлена лучше, нельзя.
