Доказательство Теоремы 3.8

1. Здесь мы используем известные математические тексты и следуем прогнозу Пола Коэна о континуум-гипотезе «Точка зрения, которая, как предчувствует автор, может в конце концов стать принятой, состоит в том, что КГ является, очевидно, ложной» [112, IV. 13].

Известно, что множество P(A)={Y: Y cz А} является частично упорядоченным по вложению множеством. Пусть F(A, В) есть множество всех отображений из А в В (на В). Пусть символы I(A,B), S(A,B) и В(А, В) обозначают множества инъекций, сюръекций и биекций из А в В (на В), соответственно. Биекцию /: И —> А называют также перестановкой или преобразованием множества А. Отображение ф€ 1(А, В) тогда и только тогда, когда

Множество Вех(А, А) всех точных перестановок feB(A,A), г. е. перестановок без циклов, мы определяем следующим равенством:

По Аксиоме выбора [36, 0.23-0.24] 3{а, ф}, аеА и /е Вех(Л, Л). С помощью пары (a, ф) мы определяем такую цепь (цепь по вложению):

где b = y(a), c = (b), d = i(c), ...,p = y(q), ... .

Очевидно, что множество элементов цепи (А А) является вполне упорядоченным, т. е. каждое его подмножество имеет наименьший элемент. Если %еВ(А,А) и 't)(a) = g*a, то отображение преобразует полную я-цепь (А А) в некоторую полную g-цепь, обозначаемую ниже символом P(g, А). Пусть семейство 9?(Р(Л)) содержит только все элементы множества Р(Л) и все цепи из его элементов. Элемент Н семейства 9?(Р(Л)) называется [36, 0.23] максимальным элементом этого семейства, если и только если никакой элемент Ge5R(P(^)) не содержит Н в качестве собственной части. Подобным образом элемент G называется минимальным элементом семейства 9?(Р(Л)) тогда и только тогда, когда никакой элемент ) не содержится в качестве собственной части в G. Очевидно, что минимальными элементами семейства Л(Р(Л()) являются одноэлементные подмножества множества А и только они, а множество всех полных P(q, ?, А): qeA, ?,е В(А, А)} образует подмножество множества всех максимальных элементов семейства Л(Р(Л)). И очевидно, что всякая цепь V, составленная из элементов некоторой полной q-цепи P{q, А) имеет наименьший элемент.

Теорема 3.8 (с. 62). Пусть Bи ере F(A, В), тогда во множестве А найдется такая пара (а, q) элементов а и q, что

  • • Мы не нарушим общности рассуждений, если примем # = ф(Л). Предположим, далее, противное условию (A A A): и верно (А), т. е.
  • (ре 1(А, В). И пусть Н=А В, так что В n Н = 0 . При этих условиях мы имеем ф( А) = q>(B u Н) = ф(5) и ф(//). Следовательно, ф(5)с5 и Ф (Я)сй. Если ф(5) = 5, то (А А А) доказано. Если же ф(5) = В{ а В, то

ф(й) = ф(й, иЯ|) = ф(5|)иф(Я,) = й], где Н]=ВВ]. Аналогично доказывается, что либо ф1) = В1 и в силу ф(#,)с5, условие (А А А) доказано, либо ф(5|) = В2 с В} и так далее. Таким образом, мы получим следующую убывающую цепь Z: Az^B z> 5, z> В2 э-d^. здесь / е J, где J -

соответствующее построенной цепи Z множество индексов. По Лемме Ку- ратовского [36, 0.25(d)] каждая цепь в частично упорядоченном множестве содержится к некоторой максимальной цепи. Здесь максимальной цепью, содержащей цепь Z, будет, например, некоторая полная я-цепь Р{а, А).

Следовательно, цепь Z имеет наименьший элемент Вк z> {а} такой, что ф(A-i) = ф( Вк: u Нк) = ф( вк) и ф( Н к) = Вк, и при этом фк) = Вк и ф(//А.)с Вк. Значит, условие (А А А) будет доказано, так как Нк п Вк=0 по выбору множеств Bi и //,, i < к. Если, например, Вк ={а}, тогда V/, / < к, 3qe В; и {a}cz{a,q}^Bk_{, где a*q9 так как множество {а} есть наименьший элемент я-цепь Р(а, А). Следовательно, ф(?А._,) = Вк = {а} и

ф(я) = ф(<у) = я.И

Теорема 3.8 имеет также канонически краткую форму:

В частности, q—i{A~{Ayj{q})), и мы говорим об этом так: в отношении эквивалентности семейство бесконечных множеств (как и множество конечных множеств) делится на классы «с точностью до элемента». Это, в свою очередь, открывает новые пути исследования континуум- гипотезы [112].

Мы записываем ниже без доказательства только два из эквивалентных Теореме 3.8 утверждения, которые, как и сама Теорема 3.8, очевидны для конечных множеств и их отображений.

Теорема 3.15. Если BclA и фе 7(5, А), тогда 3^€ /(А, А): =ф.

Теорема 3.16. А ~В<^>Вех(В, В)~Вех, А)<=>В(А, А)~В(В, А)

(ср. с [45, (1.4.13)], где А~В=>(В(А, А) и В(В, А) изоморфны)).

Переменная

Определение 3.19. Переменной X назовем тройку , А, ф), где х- символ переменной, А - некоторое множество, элементы которого можно ставить вместо х в некоторое выражение F{x), ф - порядок во множестве А.

В этой формулировке фраза «элементы которого ... F(x)» может

быть опущена (см. Глава 1, стр. 14-16). Но в неформализованном изложении понятие переменной, свободной переменной формулируется в связи с понятием «выражение с переменной».

Порядок ф в переменной (х,А,ф), вообще говоря, не может быть нелинейным и чаще всего устанавливается процедурой «вставить вместо символа переменной элемент множества А».

Традиционно за порядок ф переменной принимается по умолчанию некоторый естественный порядок множества М, А с М. Так, например, в теории последовательностей и теории рядов за порядок принят естественный порядок множества 7V натуральных чисел. Иначе пусть, например, А = {1, 2, 3}, и F(x) есть слово «х < 3», а порядок ф в А задает последовательность (2, 1,3). Пусть А = Z, тогда для | х - 2 |< 10, xeZ, порядок ф во множестве^ определим условием: х, ф-< х2,если х2 > |дг|| или -Х[ = |х2|.

Более подробно об этом написано Г.М. Фихтенгольцом в Дополнении к 111 тому его Курса дифференциального и интегрального исчисления [81, с. 632-639 и 643-649].

В математической статистике (еще один интересный пример) порядок случайной переменной задают с помощью таблиц или иных алгоритмов получения случайных чисел.

Вопросы Читателю

  • 1. Как можно описать линейный порядок для точек M(X,Y) числовой плоскости XOY?
  • 2. При каких условиях произведение g ° / двух функций g : В —> С

и /: А —> В будет сюръекцией, но не инъекцией? Постройте соответствующую диаграмму.

  • 3. Является ли монотонность на интервале (а, b) функции / X —> Y необходимым условием непрерывности этой функции на этом интервале, если X и Y суть линейно упорядоченные множества?
  • 4. Аксиома 8 Евклида утверждает, что «целое больше части». Эта аксиома доказывается Теоремой 3.8 в рамках наивной теории множеств (Naive set theory by Paul R. Halmos, D. Van Nostrand Company) с использованием понятия точной перестановки множества. Корректно ли это доказательство для «актуально бесконечно больших множеств»?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >