О СХОДИМОСТИ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Перестановки слагаемых числовых рядов представляют широко используемую часть общей теории рядов. Сходимость знакопеременных рядов является основой теории сходимости рядов функциональных, значение которых в прикладном анализе трудно переоценить. Мы рассмотрим в этой главе только некоторые начальные факты теории числовых рядов, начиная с уточнения основных понятий этой теории. В частности, из понятий частичной суммы числового ряда и его остатка мы выделим понятия значений этих сумм. Это позволит доказать в хорошо известной всем области ряд новых утверждений: достаточность необходимого признака сходимости числового ряда и независимость сходимости числового ряда от перестановок его слагаемых.

О понятии числового ряда

Пусть дана числовая последовательность

Обозначим символом сумму п первых членов at последовательности (а) ?=я, + а2 н— + аи, а символом Sn- число, равное значению суммы . Так что

Определение 8.1.1. Числовым рядом, определяемым последовательностью (а), назовем пару последовательностей (Х„) и (Sn), определяемых посредством (8.1.2), и будем писать:

Здесь и ниже суммирование у символа ? формально предполагается, по умолчанию, от 1 до оо, что означает неограниченную возможность перехода от частичной суммы Е,; к частичной сумме Z/7+1. Равенство

ап = /(и) называют формулой общего члена последовательности (8.1.1), а также формулой общего члена ряда (А).

Определение 8.1.2. Числовой ряд (А) называется сходящимся к числу А, если к этому числу сходится числовая последовательность (Sn) значений Sn частичных сумм ?„ этого ряда. Число А в этом случае называют суммой ряда (А) и пишут:

Если предел (8.1.4) не существует или равен ±оо, то соответствующий ряд (А) называется в анализе расходящимся. Из множества расходящихся, в классическом смысле, рядов с помощью новых свойств (см. п.п. 7.1, 7.2) последовательностей Коши выделяется класс рядов, для каждого из которых числовая последовательность (Sn) значений Sn частичных сумм ?„ сходится к соответствующему бесконечно большому числу (ILN).

Необходимым условием для (8.1.4) является выполнение равенства

Равенство (8.1.3) можно записать в следующем виде:

Бесконечную сумму р„ = ХГ=я+1 ак в (8.1.6), называемую п-м остатком ряда (А), мы не будем иногда отличать при записи от ее значения гп. Методы оценки значений гп остатков р„ числовых рядов составляют существенную часть теории рядов. Докажем еще раз (см. выше Пример 6.3.5 и [104, р. 12], ср. [44, с. 317-319]) следующее утверждение.

Теорема 8.1.1. Для произвольного числового ряда (А) = ХГ-Д» спРа~ ведлива следующая эквивалентность-.

• Пусть у данного ряда (А) ап—> 0. Поскольку ап = гп_хп, то очевидно, что (/*„-» 0) => (а„-> 0). Пусть далее Sp=XLia« и Sk =XLaСУТЬ значения соответствующих частичных сумм Е и ряда (А) и Е*сЕр. Если Rk =1,р - Ък, тогда при фиксированном к остаток ряда pt определяется равенством рА, = lim Rk и поэтому />->00 'Р

В силу Теоремы 6.2.4 пара (m, q) переменных те (к, к + 19к + 2, ...)qe(p> р+ 9 р+ 2, ...)сi/V, где по определению /?* &

точной парой натуральных переменных (6.1.2). Следуя (6.1.3), мы можем считать, что существуют С и q = m + l(m), где l(m)€N и 1(т)<С. Поэтому равенство (8.1.7) можно записать так

Поскольку по предположению аА.—>0 и 0

А'-ко

У другой формулировки Теоремы 8.1.1 доказательство короче. Теорема 8.1.2. Необходимое условие lima,, =0 сходимости числового

И—КО

ряда является достаточным условием его сходимости.

• По Теореме 7.1.3 и условию (7.1.17') предельное равенство Нт(5л- - Sn~)= lima,, =0 есть условие фундаментальности последовательности

со

  • (Sn) значений 5 частичных сумм числового ряда (А) = ]Г а,., и следо-
  • 1

вательно, у этого сходящегося ряда гп—> 0. ?

Определение 8.1.3. Допустимыми преобразованиями числового ряда (А) (ДПЧР) мы называем такие операции над членами a,. , in < п, его час-

тичных сумм Х,?, которые не меняют значений Sn этих частичных сумм.

Такими преобразованиями ряда (А) являются, прежде всего, следующие операции:

  • 1) коммутирование слагаемых частичных сумм ;
  • 2) ассоциирование слагаемых сумм т. е. объединение-сложение слагаемых в «пачках» (см. [60, с. 270]);
  • 3) добавление и отбрасывание нулевых слагаемых;
  • 4) разбиение членов частичных сумм на слагаемые;
  • 5) вынесение общих множителей из слагаемых пачки и т. д.

Из Определений 8.1.1-8.1.3 очевидным образом следует Утверждение 8.1.1.

Утверждение НАЛ. ДПЧР не меняют сходимости (расходимости) числового ряда, как и не меняют сумму сходящегося ряда.

Более общее утверждение мы доказываем ниже.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >