Об алгоритмах курса высшей математики

А.1. Что такое алгоритм? Алгоритм - понятие такое же древнее, как и сама математика, и наука вообще. Истоки традиционного понимания понятия алгоритм лежат в древнегреческой математике. Термин алгоритм происходит от слова Algorithm - латинской траискрипизации имени хорезмского ученого Мухамад бен Муса аль Хорезми, жившего в VIII—IX веках (около 783-850 годов).

Под алгоритмом в самом общем виде понимается любая регламентированная процедура. Так, в аксиоматической теории алгоритмом будет всякий вывод следствий из посылок, т. е. упорядоченное множество правил вывода (см. Глава 1, п. 1.2). Значение понятия алгоритм возросло в начале XX века в связи с решением проблем формализации математической логики. В 20-х годах прошлого века задача точной формулировки понятия алгоритм была одной из центральных в математике. В начале XXI века считается общепринятым мнение, что понятие алгоритм относится к числу основных начальных понятий математики, не допускающих определения в терминах более элементарных понятий (см. также [38, с. 211-215]).

В теории алгоритмов под алгоритмом понимается конечная система правил, описывающих действия и порядок их выполнения при решении задач данного класса. Отметим несколько признаков, признаваемых характеристическими для понятия алгоритм.

  • 1.1. Массовость алгоритма, определяемая потенциальной бесконечностью множества исходных значений параметров (необязательно всех параметров) решаемой задачи (класса задач).
  • 1.2. Правило начала.
  • 1.3. Дискретность алгоритма, т. е. его пошаговая упорядоченность.
  • 1.4. Детерминированность алгоритма, по которой множество значений параметров, получаемых на каждом шаге, однозначно определяется из множества значений, полученных на предыдущих шагах.
  • 1.5. Элементарность шагов алгоритма.
  • 1.6. Направленность алгоритма, определяемая правилом окончания и правилом извлечения результата.

Ниже, как и вообще в курсе высшей математики (КВМ), понятие алгоритм используется в традиционном интуитивном смысле, не очень противоречащем всему сразу вышесказанному. Курсом высшей математики для большинства студентов технического вуза заканчивается изучение математики. Это требует усиления методологической направленности изучения КВМ, чего можно добиться без ущерба для содержательности КВМ по крайней мере двумя способами:

  • 1) повышением уровня научности КВМ, и в первую очередь корректностью введения основных понятий,
  • 2) внедрением в содержание курса идей алгоритмизации.

Последнее означает следующее. Все доказанные утверждения и решенные задачи КВМ, между которыми нет принципиальной разницы, доказаны и решены много лет и веков назад. С другой стороны, поиск алгоритма решения задачи всякий раз является эвристическим процессом и потому якобы неподдающимся алгоритмизации из-за неограниченного количества вариантов при выборе следующего шага. Умение же искать алгоритмы создания алгоритмов уже скорее искусство, чем наука. Приобщение к этому искусству и должно быть одной из главных целей изучения математики вообще и КВМ, в частности. Другую информацию всегда при необходимости можно найти в справочниках или в Интернете.

АЛ. Доказательство существования числа е, такого, что

Замечание. При шаге I и II дроби vn и ип оценивались с помощью неравенства Бернулли (см. п. 3.7.6): (1 + а)" > 1 + па, п е N.

А.2. Вычисление площади Sэ поверхности трехосного эллипсоида

д 4тт

I. Объем элллипсоида Vэ = V-)(a, b, с) - —abc.

Замечание. Точность результата шага IV определяется эксцснтри ситетами эллипсов осевых сечений.

В частности, при а = b = с = г получим известную формулу для вы числения площади поверхности сферы: Scф = 4лг2.

А.З. Раскрытие неопределенностей типа 0/0 (оо/оо).

Пусть, например, А = ijm'^7"T=и «?{0,°о}.

х->а ®' '

g(x) ts g'(t) '->0 g*(0

Если г = 5, то II.

Если г > s и |5| Ф оо, то III; при г > s и |2?| = оо —> V.

Если же г < s и |5| * 0, то IV; при г < s и |5| = 0 —> VI.

Замечание. Переход z{t) = tk ? z*(0 осуществляется алгебраическими преобразованиями с использованием эквивалентности бесконечно малых, а также с помощью подходящей или необходимой замены переменных.

А.З. (е, 5) - алгоритм проверки существования (поиска) предела b функции /: Л —» Л в точке х = а.

I. Из уравнения /(t) = Ь — 8 > О, находим числа ?,(?), / Е 1 с N

II. Vtj(?), tj{?)< а, находим числа a,(e) =

III. 5|(e) = inf{a,(s)}.

IV. Из уравнения f(t) = b + e, e > 0, находим числа v6 / c N.

V. Vv/e), Vj{e)>a, находим числа p/e) = у,- (e)-a.

VI. 82(e) 4 inf 0/6)}.

VII. 5(e) = inf {5|(e), 62(e)}.

VIII. П.А3.1. Вычисление 6( s) no e > 0

Рис. П.А3.1. Вычисление 6( s) no e > 0: 6< e)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >