Неопределенный интеграл

Ниже будем рассматривать непрерывные с действительными значениями функции F, G,f g, h,..., заданные на некотором промежутке / с /?,

например, Я: / —>/?, Я е {F, G, ...}, а Х= (х, I), Т= (t, I) и др. являются переменными.

О дифференцировании функций

Из Аксиомы равенства 1.3' (Глава 5): (а = Ь) =>(ф(Ь) => ф(я)) следует утверждение: если две дифференцируемые функции F и G равны, то равны и их производные, т. е.

Из этого угверждения и равенства С = О, Се/?, вытекает Следствие Б. 1.

Следствие Б.1. (С = F+ С, CeR)=>( Уа е I G'(a)=F(a)).

Здесь и ниже по умолчанию для краткости Fx=a 4 F'(a).

Следующая ниже теорема является обратным Следствию В.1 утверждением:

Теорема Б.1. Справедлива следующая импликация:

д

• Допустим противное, т. е. что G-F=h^ const. Тогда в промежутке / найдется число с, в некоторой окрестности U, U с I, которого значения функции h возрастают (или убывают), ибо h является функцией непрерывной, так что h'(c) = q^ 0. Теперь, с одной стороны, G'(c)-F'(c) = f(c)-f(c) = 0 и, с другой стороны, G'(c)- F'(c) = q Ф 0, т. е. 0 = С (с) — F'{c) = q Ф 0. ?

А А 2

Пример Б.1. Пусть G(x) = cos2x, F(x) = 2 - 2sin' х, хеХ, тогда

Значит, как следует из (В.1), G - F = C(F,G). Действительно,

так что G(x) - F(x) = -1, т. е. C(F,G)~-1.

О множестве первообразных

Определение Б.1. Дифференцируемая функция F : I —> R называется первообразной на промежутке I для функции f I —э /?, если Va е / Fx)x=a = Ja).

Теорема Б.1 говорит о том, что результат поиска функции F по известной ее производной/неоднозначен, т. е. первообразная F определяется функцией / - F' с точностью до слагаемого - константы С. Поэтому данную операцию, обратную операции дифференцирования функций, называют неопределенным интегрированием. Более того, как следует из

л

(Б.1), множество ) исчерпывает на промежутке I все первообразные для функции/ Отметим также, что

Очевидно, что если в выражении (B.l) Vael f(a) = 0, то F(a) = Ci и G(a) = C2, следовательно, C(F,G) = С2 — С,.

Ниже будем предполагать, что За е /: /(а) ф 0.

Определение Б.2. Множество €>{F, G) всех первообразных для функции / : / —> R назовем неопределенным интегралом от функции f на

промежутке I и обозначим символом J f(t)dt, т. е.

В выражении rj /(t)dt переменную х назовем аргументом первообразной (первообразных), /- подынтегральной (интегрируемой) функцией, te{t, / -переменной интегрирования и J )dt - подынтегральным выражением. Константу C(F,G) будем обозначать короче: C(G) или С.

Учитывая равенство (Б.2), символом '[ /(t)dt иногда, когда это

удобно и не вызывает недоразумений, будем обозначать как множество 0(F,G) всех первообразных, так и одну конкретную первообразную. Но всегда следует помнить, что равенство, содержащее неопределенный инге-

X Р * . y

трал, есть равенство с точностью до константы, например: I е dt =е' , где по умолчанию константа в левой части равенства.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >