Алгоритм поиска первообразных

Из Определения Б.2 получается следующий алгоритм поиска множества первообразных функции/

  • 1. Формирование гипотезы о первообразной F функции/
  • 2. Проверка гипотезы: /а el F'(a) = f(a) .
  • 3. xjf(t)dt = F(x) + C, xeX.

В общем случае является целесообразным включение некоторых параметров в гипотезу о первообразной F функции/

Пример Б.2. Пусть f(x) = cos2,y, тогда:

  • 1. Гипотеза: F(x,b) = 6sin2.t.
  • 2. Из тождества (F(x, b))'=J(x), т. е. из 62cos2xicos2x, найдем, что b = 1/2.
  • 3. 'Jcos2t-dt = 1/2 sin2л: -н С.

Пример Б.З. /(х) =хеъ . Поскольку при дифференцировании функции е ? Рп (х) степень п многочлена Рп (х) не меняется, тогда:

  • 1. Выдвигаем следующую гипотезу: F(x, а, Ь) = е ? (ах + Ь).
  • 2. F'(x) = е(2ax + 2b+a). (/qeR F'(q) = f(q))^>
  • (elq (2aq + 2b + a)=qe2q ) => ((2a = 1)&(26 + a = 0)), t. e. a = 0,5 и b = -0,25. Итак, F(x) = (0,5.r-0,25) e2x.
  • 3. Окончательно имеем следующий результат:

Основные свойства неопределенного интеграла

  • 1.1. Cf(t)dt)'=f(x).
  • 1.2. xjdF = F(x) +С.
  • 2. Линейность операции интегрирования:
  • 2.1. VJ kf (t)dt = к 'J /(t)dt, к e R .
  • 2.2. xl(m+g(t))dt = xf(t)dt + ']g(t)dt.
  • 3. Замена переменных в неопределенном интеграле:
  • 3.1. Прямая замена переменной интегрирования:

3.2. Обратная замена переменной интегрирования:

Здесь ф и И - биекции: / с J .

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле:

Свойства 1.1 и 1.2 являются непосредственным следствием определяющего неопределенный интеграл условия (В.З). Доказательства свойств 2.1-4.0 получаются из утверждения (В.1) и из определения - условия (В.З) дифференцированием соответствующих равенств.

О таблицах неопределенных интегралов и о методах интегрирования функций

Для облегчения процедуры получения первообразных функции / на основе алгоритма поиска первообразных и свойств неопределенного интеграла составляются таблицы неопределенных интегралов. В основную таблицу интегралов обычно включают от 15 до 30 формул. Интегралы от других рассматриваемых функций сводят к табличным интегралам с помощью методов интегрирования функций, основными среди которых являются следующие:

  • 1. Метод использования линейности операции интегрирования.
  • 2. Метод замены переменной интегрирования (Свойства 3.1 и 3.2 неопределенного интеграла).
  • 3. Метод интегрирования по частям (4-е Свойство неопределенного интеграла).
  • 4. Метод неопределенных коэффициентов (см. Пример В.З).
  • 5. Метод использования для J„(x) =*jfn(t)dt рекуррентной формулы Jп{х) = Jn_k{x) + Q(x, п), где 1 < к < п, {к, п} a N, а функция Q(x, п) определяется перечисленными выше методами.
  • 6. Метод мотивированной гипотезы о первообразной.

Отметим, что первообразные от некоторых элементарных функций не сводятся к табличным (не являются элементарными функциями).

Геометрическая иллюстрация неопределенного интеграла

В декартовой системе координат XOY уравнение у = F(x) представляет заданную па / линию L(F), состоящую при а е I из точек вида M(a,F(a)), F е Угловой коэффициент к касательной к линии L(F) в точке M(a,F(a)) равен f(a), F'=f. Для любой другой функции G eO(F,G) имеем Ga) = Fa) и уравнение^ G(x) представляет линию L(G).

Поскольку У a el G{a) - F(a) = C{G,F) * 0, то точки M(a,F(a)) и M(a,G(a)) не совпадают, т. е. L(F) П L(G) = 0. Значит, линии у = Н(х), xeR, Н e0(F,G), так заполняют полосу IxR, что через каждую точку М(а,Ь) полосы проходит единственная линия Ь(Н).

Таким образом, можно говорить, что геометрически неопределенный интеграл 'J / (t)dt от функции /:/—>/? представляет множество L{ параллельных линий L(H), т. с. линий с параллельными касательными в слое {a}xR, заполняющих в общем случае полосу IxR, и при G^F L(F)f]L(G) = 0. Заметим, что равенство y'=f(x), xel, называется дифференциальным уравнением данного семейства Ь(Н) кривых, г. к. при интегрировании этого уравнения с учетом импликации (В.1) получится равенство у = F(x) + С.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >