Колебания и волны

Механические колебания

Причины распространенности колебаний в природе.

Колебательными процессами, или, короче, колебаниями, называются процессы, повторяющиеся во времени. Каждая физическая величина, характеризующая колеблющуюся систему, меняется, неоднократно принимая одни и те же (или похожие) значения.

Колебательные процессы - самый распространенный вид движений в природе. Колеблются механические маятники, сваи и фундаменты при колебаниях почвы, объем грудной клетки при дыхании человека, давление и плотность воздуха в звуковой волне, токи и заряды в электрическом колебательном контуре, атомы и ионы в узлах кристаллических решеток твердых тел, нуклоны в атомных ядрах и т.д. и т.д. Вращение планет вокруг Солнца и электронов в атомах тоже можно представить как сумму двух колебаний в перпендикулярных направлениях.

Причины такой распространенности колебаний состоят в следующем. Всякая система в природе стремится, в конце концов, к положению устойчивого равновесия. В этом положении потенциальная энергия минимальна. Если систему ’‘чуть-чуть'’ вывести из равновесия, возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему к этому положению и ускоряющая ее; за счет инерции система ’‘проскакивает” положение равновесия и вызывает возвращающую силу в обратном направлении, и т.д. Описанный механизм универсален для всех тел и систем. Если возвращающая сила пропорциональна отклонению от равновесия, колебания будут гармоническими.

Уравнение гармонических колебаний и его решение.

Уравнение движения колеблющегося тела можно получить из закона сохранения энергии. Пусть точка равновесия какой-либо системы (какой конкретно, пока неважно) х = 0. В окрестности минимума потенциальная энергия может быть представлена в виде

где к = U”(0) > 0 — постоянный коэффициент, д; - координата, характеризующая отклонение от равновесия. Пусть внешние силы на систему не действуют, и внутренние силы трения в ней отсутствуют. Колебания, возникающие в такой системе, называют свободными. Возвращающая сила, по определению, равна

т.е. такая же, как упругая сила по закону Гука. Поэтому ее, независимо от природы, называют квазиупругой. Ввиду отсутствия потерь полная энергия системы, т.е. сумма потенциальной и кинетической энергии, сохраняется

где т - масса, a v - скорость колеблющегося тела. Дифференцируя последнее уравнение по времени с учетом того, что

получаем, сокращая на v, уравнение свободных гармонических колебаний

где а = х — ускорение колеблющегося тела, о>о — собственная циклическая частота колебаний системы. Разумеется, то же уравнение легко получить из второго закона Ньютона, учитывая вышеприведенное выражение для силы упругости F = —кх. Решением этого уравнения являются гармонические функции вида

что легко проверить непосредственной подстановкой в уравнение. В этом выражении А — амплитуда (максимальное отклонение от равновесного положения), шо/ + Фо - фаза. ф0 - начальная фаза колебаний. Важно, что постоянные А и ф0 мы можем изменить, меняя начальные условия (начальное отклонение и начальную скорость системы). В то же время соо определяется только свойствами самой колебательной системы и потому для данной системы не может быть изменена.

Скорость, как производная смещения, равна

а ускорение, как производная скорости, составляет где vm и ат - амплитуды скорости и ускорения.

Графики этих функций приведены на рисунке при <р0 = 0. Таким образом, скорость опережает смещение по фазе на угол л/2, а ее амплитуда связана с амплитудой смещения как vm = Асоо. В свою очередь, ускорение опережает по фазе скорость на угол л/2 (а смещение на л), а его амплитуда связана с амплитудой смещения как ат = Ag)q.

Периодом называют минимальный промежуток времени Т, через который все характеристики колебательной системы повторяются. Учитывая, что период гармонической функции 2л, связь между периодом, частотой v и циклической частотой ©о имеет вид

Частота колебаний v характеризует количество полных циклов колебаний в единицу времени и в сисиеме СИ измеряется в герцах (Гц).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >