Анализ и решение уравнений движения машины

Разрешим уравнение (7.19) относительно углового ускорения:

Рассмотрим два случая, когда со = const и, следовательно, 8 = 0.

Пусть Мпр Ф 0 и со2dJnp / 2d(p ф 0, тогда, как следует из уравнения (7.21), должно соблюдаться равенство Мпр = co2dJnp /2dcp.

Для рычажных механизмов Мпр и со2dJnp / 2dtp описываются разными функциями, поэтому равенства между ними быть не может. Но существуют машины, где это равенство выполняется за счет специальных устройств — регуляторов скорости.

Пусть Мпр = 0 и со2 dJnp / 2dq) = 0, так как со не может быть равно нулю, то это означает, что должно быть dJnp / dcp = 0, и, следовательно, Jnp = const.

Этому случаю отвечают ротационные машины (турбины и т.д.). Для рычажных механизмов этот случай невозможен, так как у них Jnp ф const.

Уменьшение колебаний угловой скорости, т.е. доведение е до значений близких к нулю, может быть достигнуто благодаря увеличению приведенного момента инерции (см. 7.21). Это получается за счет введения в машину добавочной массы в виде маховика.

Решение уравнений движения машины аналитическим способом производят с целью определения кинематических параметров (перемещений ф, угловых скоростей w и угловых ускорений е) с учетом действующих сил и масс.

При решении ставятся и другие задачи — определение неравномерности хода и т.д.

Уравнения движения устанавливают связь между тремя типами параметров: силовыми; инерционными; кинематическими.

Для установления истинного закона движения звена приведения необходимо проинтегрировать уравнения (7.9).

Если моменты движущих сил Мд и сил сопротивления Мс являются функциями различных переменных Мп = Мп(ф, со, 0, то уравнения движения (7.9) являются нелинейными дифференциальными уравнениями. Общих методов решения таких уравнений не существует, в связи с чем получить интегралы в конечных функциях чаще всего нельзя. Поэтому задача по интегрированию этих уравнений решается приближенными методами с использованием ЭВМ.

Если внешние силы являются функциями положения Мд = Мд(ф) и Мс = = Мс(ф), то можно решение уравнений записать в форме интеграла энергии.

Перепишем еще раз уравнение движения в форме интеграла энергии: Разрешая его относительно со, получим:

Этими зависимостями удобно пользоваться, если исследование машины начинается с момента пуска ее в ход, т.е. когда начальные параметры равны нулю. Из рассмотренного выше можно сделать важные заключения, даже не прибегая к отысканию конкретной функции Ф = Ф(0.

В координатах М и со (рис. 7.3) совместим характеристики электродвигателя и всех сопротивлений (полезных и вредных): Мдв и Мс = Мпс + + Мвс.

В начальный момент времени при подключении электродвигателя к сети со = 0 и отрезок АС, изображающий результирующий момент в уравнении движения. Под действием этого момента (Мдв > Мс) возникает положительное ускорение ? > 0, и угловая скорость со начинает возрастать. С увеличением скорости избыточный момент постепенно уменьшается. В точке В разница в моментах становится равной нулю. Изменение угловой скорости также прекращается и дальнейшее движение совершается с постоянной скоростью ш = соср. При выключении двигателя Мдв = 0 и под действием сил сопротивления Мс происходит постепенная остановка машинного агрегата.

Таким образом, полный цикл работы складывается из трех частей: разгона (tp), установившегося движения с со = соср (tc) и замедления, или выбега (tB).

Легко видеть, что если в начальный момент скорость со > ооср, то она будет уменьшаться, пока не достигнет соср. Таким образом, любое неу- становившееся движение стремится к состоянию устойчивого равновесия.

Поскольку обычно машины-двигатели и рабочие машины имеют различные механические характеристики, то весьма часто правая часть уравнения движения зависит от со и от ср, т.е. М = М(со, ср).

Режимы движения машинного агрегата

Рис. 7.3. Режимы движения машинного агрегата:

а — рабочая точка установившегося движения; б — периоды движения

механизма

Представим уравнение Jdco/dt = M в виде Jcodco/dt = Mco или Jo)dco/dt = Md(p/dt. После сокращения на dt, разделения переменных и первого интегрирования получим

где w0 — начальное значение скорости.

Этот интеграл называют уравнением кинетической энергии. Инте-

ф

грал |М<Зф является функцией ф, т.е. он равен Ф(ф). Когда значение о

обобщенной координаты ф увеличивается на 2п (360°), то подвижные звенья механизма займут свое исходное положение и так будет повторяться после увеличения координаты ф на угол 2пк, где к — целое число.

Обозначим кинетическую энергию механизма через ЕК. Тогда, согласно уравнению кинетической энергии, при изменении обобщенной координаты от значения ф к значению (ф + 2лк) приращение кинетической энергии будет равно:

Интеграл в правой части может быть больше нуля, равен нулю или меньше нуля. Поэтому кинетическая энергия может увеличиваться, оставаться постоянной или уменьшаться. При возвращении механизма в исходной положение его кинетические параметры повторяются. Такое движение называется колебательным установившимся движением.

Графически это выглядит так, как показано на рис. 7.4.

Время Т, в течение которого координата ф изменяется до значения (ф + 2л/с), называется периодом цикла.

При колебательном движении постоянной остается не мгновенная, а средняя скорость цикла wcp = const.

Итак, при установившемся колебательном движении за цикл работа движущих сил равна работе сил сопротивления:

где WJ и WJ — работа соответственно движущих сил и сил сопротивления за период Т.

Как уже было сказано, при установившемся движении ведущее звено вращается неравномерно. Причинами колебания скорости является периодическое изменение внешних сил или периодическое изменение момента инерции.

Поскольку периоды этих функций либо одинаковы, либо кратны, то колебания скорости носят периодический характер. Периодические колебания скорости ведущего звена называются неравномерностью хода машины. Их оценивает коэффициент неравномерности:

Практикой установлены некоторые интервалы допустимых значений коэффициента § для различных типов машин, например, в пределах 0,02—0,01.

Путем подбора законов изменения приведения движущих сил, сил сопротивления и приведенных масс можно уменьшить колебания скорости звена приведения, хотя полностью устранить их не всегда представляется возможным.

Графики колебательного установившегося движения механизма

Рис. 7.4. Графики колебательного установившегося движения механизма

Найдем шср:

где ?ц — время одного цикла.

Цикл — это время, через которое повторяются значения о). На практике: со0 = Штах -Шт1г1. р 2

Неравномерность хода машин приводит к дополнительным динамическим нагрузкам, поэтому при проектировании машин стараются уменьшить его. Достигается это несколькими способами: рациональным распределением масс в звеньях, применением регуляторов скорости, но проще всего это достигается с помощью маховика.

Маховик — это массивное тело в виде диска или обода со спицами, обладающего большой инерцией. Маховик является аккумулятором кинетической энергии. При увеличении скорости машины увеличивается скорость маховика, увеличивается его кинетическая энергия, на что затрачивается часть энергии движущих сил, и, следовательно, темп роста скорости машины уменьшается. При уменьшении скорости машины соответственно уменьшается скорость маховика, высвобождающаяся часть его кинетической энергии добавляется к энергии движущих сил и темп замедления скорости машины уменьшается. Таким образом, маховик сглаживает колебания. Маховик выгоднее устанавливать на быстроходных валах, так как нужный эффект по сглаживанию получают с помощью маховика меньшей массы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >