Кручение.

При действии на стержень пар сил, плоскости действия которых перпендикулярны оси стержня, происходит деформация кручения. Наблюдая характер искажения сетки прямоугольников, нанесенных на боковой поверхности круглого стержня, можно заметить, что контуры поперечных сечений в процессе деформации остаются плоскими, расстояния между ними не изменяются, а первоначально прямолинейные образующие превращаются в винтовые линии (рис. 9.10).

Схема деформации при кручении круглого бруса

Рис 9.10. Схема деформации при кручении круглого бруса

Радиусы сечений при деформации остаются прямолинейными. Поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются вокруг оси стержня друг относительно друга на некоторые углы ф1? ср2, (р3 и т.д. При этом образующие превращаются в винтовые линии.

Двумя смежными сечениями выделим элемент деформированного бруса радиуса г в виде диска толщиной chc (рис. 9.11). У поверхности элемента рассмотрим элементарный прямоугольник abed. Выделенный элементарный прямоугольник испытывает деформацию сдвига: ad

абсолютный сдвиг и -— = tgyxtfnyxt — относительный сдвиг (угол сдвига). ^х

Из рис. 9.11 следует, что aa' = rd(p, тогда

Для прямоугольника, выделенного внутри бруса на цилиндре радиуса р, по аналогии запишем

В соответствии с законом Гука при сдвиге можно записать

Как видно из выражения (9.19), по данному сечению касательные напряжения изменяются линейно от нуля в центре сечения до максимальных у поверхности бруса:

К определению абсолютного и относительного сдвига при

Рис. 9.11. К определению абсолютного и относительного сдвига при

кручении

Воспользуемся методом сечений и рассмотрим равновесие части бруса длиной х (см. рис. 9.10, а), лежащей слева от сечения. Составим уравнение равновесия в форме ^Г(х) = 0.

Момент внешней крутящей пары уравновешивается моментом внутренних сил, распределенных в поперечном сечении относительно продольной оси:

После подстановки значения из формулы (9.20) получим

где Jp- J p2dA — полярный момент инерции поперечного стержня.

И

Для круглого сечения диаметра d полярный момент инерции Jp - net4 /32.

Из формулы (9.21) следует:

Подставляя полученное значение для G — в выражение (9.20), полу-

dx

чаем

где Ткр — крутящий момент в данном сечении, численно равный сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от сечения относительно продольной оси; р — расстояние точки, в которой нужно определить напряжение, до центра тяжести сечения; Jp — полярный момент инерции сечения.

Из формулы (9.20) видно, что касательные напряжения в сечении изменяются по линейному закону. Следовательно,

где Wp — полярный момент сопротивления сечения, м3.

Для круга

Из выражения (9.22) можно найти относительный угол закручивания:

Полный угол поворота ф одного сечения относительно другого, отстоящего от него на расстоянии I, получим, интегрируя выражение Т

dф = —^-dx в пределах от 0 до ф и от 0 до I:

GJp

Произведение GJp называется жесткостью бруса при кручении.

Из выражения (9.25) получим формулу

где [ф] — допускаемый угол закручивания на длине I стержня.

Диаметр поперечного сечения определяют из условий прочности и жесткости и принимают больший.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >