Вычисление средней арифметической в больших выборках

Прямой метод вычисления X при большом числе вариант при отсутствии вычислительной техники требует много труда. Поэтому при биометрической обработке многочисленных выборок используются другие (непрямые) методы, в частности способ произведений, или «условной средней». В основу положено следующее свойство средних величин: алгебраическая сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней арифметической величины (сумма центральных отклонений) всегда равна нулю, т. е. (v-X) = 0. При этом способе для вычисления средней арифметической величины используются вариационные ряды. Вычисление производится по формуле

где А — условная средняя (центральное значение модального класса);

b — поправка к условной средней арифметической (b= Q); к

п

величина классного промежутка.

Первый пример. Для вычисления средней арифметической величины по промерам высоты в холке коров бестужевской породы желательно использовать готовый вариационный ряд, составленный по значениям данных промеров (табл. 3.3) и добавить две графы под рубрикой — отклонения каждого класса от модального а и рха.

Затем нужно выделить условно средний (модальный) класс. За модальный класс, как правило, принимается класс с наибольшим количеством частот вариант. Модальный класс следует выделить путем заштриховки. Если в вариационном ряду имеется несколько классов с одинаковым максимальным значением частот, то в качестве модального берется один из них, расположенный к середине ряда.

Таблица 3.3

Вычисление средней арифметической величины промеров высоты в холке коров

бестужевской породы

Границы классов

Частота варианта р

Отклонения а

р х а

W

119—120

1

-4

-4

119,5

121—122

5

-3

-15

121,5

123—124

10

-2

-20

123,5

125—126

16

-1

-16

125,5

127—128

21

0

0

127,5

129—130

16

1

16

129,5

131—132

12

2

24

131,5

133—134

10

3

30

133,5

135—136

7

4

28

135,5

137—138

2

5

10

137,5

1р=юо

?рха = 53

Определяют условную среднюю арифметическую (А). За условную среднюю величину принимается середина модального класса, поскольку искомая X скорее всего будет близка к нему (в случае с прерывным варьированием — плодовитость свиноматки, яйценоскость и т. д.) или к начальной границе (АД модального класса прибавляют половину значения классного промежутка (в случае с непрерывным

варьированием): А = Аг+ —. Значение классного промежутка (/с)

берется не округленное.

В нашем примере наибольшее количество частот вариант (р = 21) имеет пятый класс с границами 127—128 см, тогда

Далее, приняв модальный класс за нулевой, находят отклонение срединного значения каждого класса от модального, выраженное в единицах классного промежутка. Эти отклонения обозначаются буквой а. Классы, расположенные в таблице вверх от модального класса, будут меньше него на один, два, три и т. д. классных промежутка. Аналогичные отклонения будут в классах, стоящих ниже от условного среднего, но только с положительным знаком.

Записав отклонения с их знаками в третью графу таблицы, умножают отклонения каждого класса (а) на соответствующую частоту (р) и произведения (рха) вписывают в четвертую графу таблицы. После этого суммируют все значения рха с учетом их знака: сначала все положительные (+р х а), затем все отрицательные (-р х а) и вычитают из большей суммы меньшую, сохраняя знак большей величины.

Если бы условная средняя (Л) совпадала с истинной средней (X), то ?рха с минусом равнялась бы ^рха с плюсом, а их общая сумма была бы равна нулю. В нашем примере ?р х а с минусом равняется -55, а ^рха с плюсом —108, их алгебраическая сумма ?рха = 108-55 = 53. Следовательно, условная средняя в какой-то мере отличается от истинной средней. Это несовпадение корректируется поправкой, обозначаемой буквой Ь.

Вычисляют поправку к условной средней арифметической по формуле b = ха. Поправка (Ь) может быть как с положительным зна- п

ком, так и с отрицательным. Это зависит от знака ^рха. Для нашего 53

примера Ь = ^^ = 0,53. Прибавив к условной средней поправку, получают истинную среднюю арифметическую:

Второй пример. Вычислить среднее арифметическое содержания жира в молоке у коров симментальской породы по следующим данным, %:

3,72

3,51

3,29

3,12

3,67

4,09

3,70

3,86

4,23

3,92

3,99

4,09

3,88

3,95

3,94

3,56

3,32

3,31

3,44

3,75

3,90

4,35

4,56

3,60

4,00

4,36

3,68

3,87

4,23

3,71

3,87

4,13

3,81

3,63

3,56

3,90

3,84

3,72

4,20

3,67

4,46

3,57

4,05

3,59

5,02

3,34

3,68

3,51

3,93

4,00

3,93

3,99

3,93

3,83

4,04

4,20

4,00

4,16

4,33

4,30

3,92

3,59

3,89

3,55

4,14

4,58

4,25

3,88

4,15

3,99

4,00

3,46

3,67

3,97

4,37

Методика определения X остается прежней с той лишь разницей, что в данном случае классный промежуток будет меньше единицы (табл. 3.4).

Таблица ЗА

Вычисление средней арифметической величины содержания жира в молоке коров

Классы W

Частоты Р

Отклонения а

рха

3,10—3,29

2

-4

-8

3,30—3,49

5

-3

-15

3,50—3,69

15

-2

-30

3,70—3,89

14

-1

-14

Окончание табл. 3.4

Классы W

Частоты Р

Отклонения а

рха

3,90—4,09

21

0

0

4,10—4,29

9

1

9

4,30—4,49

6

2

12

4,50—4,69

2

3

6

4,70—4,89

0

4

0

4,90—5,09

1

5

5

1Р = 75

Хрха = -35

  • 1. Подсчитывают количество животных в совокупности или число вариант: п = 75.
  • 2. Находят максимальное (шах) и минимальное (min) значения признака животных в исследуемой группе:

3. По разности между максимальным и минимальным значением признака определяют лимит:

4. Определяют величину классного промежутка:

  • 5. Строят вариационную реиптку.
  • 6. Устанавливают границы классов.
  • 7. Разносят варианты выборки по классам.
  • 8. В вариационном ряду выделяют модальный (условно средний) класс.
  • 9. Выделяют условную среднюю арифметическую:

  • 10. Определяют условные отклонения каждого класса от модального (а).
  • 11. Подсчитывают сумму всех произведений:

12. Вычисляют поправку к условной средней арифметической:

Задание для самостоятельной работы

Вычислить среднюю арифметическую в больших выборках, пользуясь данными заданий 1—15 главы 2.

Контрольные вопросы и задания

  • 1. Какими свойствами обладают средние величины?
  • 2. Перечислите средние величины. Как их используют?
  • 3. Как вычисляется средняя арифметическая для малой выборки и для большой выборки?
  • 4. Что такое средняя взвешенная? В каких случаях она применяется? Как ее вычислять?
  • 5. Как вычисляют непараметрическую среднюю?
  • 6. Как вычисляют среднюю геометрическую?
  • 7. Как вычисляют среднюю квадратическую?
  • 8. Как вычисляют среднюю гармоническую?
  • 9. Что такое мода и медиана?
  • 10. Как находят условную среднюю арифметическую?
  • 11. Как находят поправочную величину к условной средней арифметической?
  • 12. Что такое модальный класс? Как его находят?
  • 13. Что показывает средняя арифметическая?
  • 14. Как определяют отклонения класса от модального?
  • 15. Может ли быть со знаком минус? Почему?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >