Вычисление среднего квадратического отклонения в малочисленных выборках (n < 30)

Установление степени разнообразия признака в популяциях имеет большое значение в селекции. Наилучшим показателем разнообразия признака является среднее квадратическое отклонение а, которое учитывает отклонение каждой варианты от средней арифметической. Чем больше о, тем больше изменчивость признака в группе животных.

Сигма — величина именованная и выражается в тех же единицах, что и средняя арифметическая. Между средней арифметической и средним квадратическим отклонением существует закономерная связь, которая выражается в следующих правилах: в генеральной совокупности в пределах Х±1а находится 68,3 % вариант совокупности, в пределах X±2а — 95,5 %, а в пределахX±За — 99,7 %, или практически все варианты.

При небольшом числе вариант среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле

где V — варианта; X — средняя арифметическая; п —число вариант в совокупности.

Пример. Вычислить среднее квадратическое отклонение по данным о живой массе 20 быков бестужевской породы в возрасте 5 лет и старше (табл. 4.1).

Для получения необходимых величин для расчетаа значения признака у животных совокупности вносят в вспомогательную таблицу. В первую графу вписывают варианты (живая масса быков). Суммировав их и разделив на число вариант, получают среднюю живую массу - - YVi

быка (X): X = = 840 кг. Затем нужно вычесть X из каждой варианты

и разности (V-X), т. е. отклонения вариант от средней, вписать во вторую графу.

Таблица 4.1

Вычисление среднего квадратического отклонения прямым способом (при малом числе вариант)

Для проверки правильности вычислений суммируют все разности (V-X), их сумма должна быть равна нулю. Далее каждое отклонение возводят в квадрати вписывают квадраты отклонений (V-X)² в третью графу. В отличие от отклонений, которые могут быть положительными и отрицательными, квадраты отклонений всегда положительны. Суммируя все показатели третьей графы, получают сумму квадратов отклонений ^(У-Х) , которую вписывают в итоге третьей графы.

, IT(V-X)² 1143 150 ^

В нашем примере а = ± J—--— = J——— = 86,79 кг.

Сигма является показателем разнообразия признака. Согласно правилу трех сигм, почти все варианты укладываются в интервал от -За до +3а. В данном примере живая масса быков в генеральной совокупности должен находиться между 840-3-86,79 и 840 + 3-86,79, т. е. между 579,63 и 1100,37 кг, что соответствует действительности.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Вычислить среднее квадратическое отклонение в малых выборках, пользуясь данными заданий 1—15 главы 3 (см. параграф 3.1).