Вычисление среднего квадратического отклонения в малочисленных выборках (n < 30)
Установление степени разнообразия признака в популяциях имеет большое значение в селекции. Наилучшим показателем разнообразия признака является среднее квадратическое отклонение а, которое учитывает отклонение каждой варианты от средней арифметической. Чем больше о, тем больше изменчивость признака в группе животных.
Сигма — величина именованная и выражается в тех же единицах, что и средняя арифметическая. Между средней арифметической и средним квадратическим отклонением существует закономерная связь, которая выражается в следующих правилах: в генеральной совокупности в пределах Х±1а находится 68,3 % вариант совокупности, в пределах X±2а — 95,5 %, а в пределахX±За — 99,7 %, или практически все варианты.
При небольшом числе вариант среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле
где V — варианта; X — средняя арифметическая; п —число вариант в совокупности.
Пример. Вычислить среднее квадратическое отклонение по данным о живой массе 20 быков бестужевской породы в возрасте 5 лет и старше (табл. 4.1).
Для получения необходимых величин для расчетаа значения признака у животных совокупности вносят в вспомогательную таблицу. В первую графу вписывают варианты (живая масса быков). Суммировав их и разделив на число вариант, получают среднюю живую массу - - YVi
быка (X): X = = 840 кг. Затем нужно вычесть X из каждой варианты
и разности (V-X), т. е. отклонения вариант от средней, вписать во вторую графу.
Таблица 4.1
Вычисление среднего квадратического отклонения прямым способом (при малом числе вариант)
Живая масса быков V, кг |
Отклонения (V-X) |
Квадраты отклонений (V-X)2 |
Живая масса быков V, кг |
Отклонения (V-X) |
Квадраты отклонений (V-X)2 |
920 |
80 |
6400 |
780 |
-60 |
3600 |
806 |
-34 |
1156 |
1092 |
252 |
63 504 |
784 |
-56 |
3136 |
930 |
-90 |
8100 |
761 |
-79 |
6241 |
786 |
-54 |
2916 |
855 |
15 |
225 |
905 |
65 |
4225 |
820 |
-20 |
400 |
767 |
-73 |
5329 |
781 |
-59 |
3481 |
770 |
-70 |
4900 |
768 |
-72 |
5184 |
923 |
83 |
6889 |
800 |
-40 |
1600 |
820 |
-20 |
400 |
950 |
110 |
12 100 |
782 |
-58 |
3364 |
Для проверки правильности вычислений суммируют все разности (V-X), их сумма должна быть равна нулю. Далее каждое отклонение возводят в квадрати вписывают квадраты отклонений (V-X)2 в третью графу. В отличие от отклонений, которые могут быть положительными и отрицательными, квадраты отклонений всегда положительны. Суммируя все показатели третьей графы, получают сумму квадратов отклонений ^(У-Х) , которую вписывают в итоге третьей графы.
, IT(V-X)2 1143 150 ^
В нашем примере а = ± J—--— = J——— = 86,79 кг.
Сигма является показателем разнообразия признака. Согласно правилу трех сигм, почти все варианты укладываются в интервал от -За до +3а. В данном примере живая масса быков в генеральной совокупности должен находиться между 840-3-86,79 и 840 + 3-86,79, т. е. между 579,63 и 1100,37 кг, что соответствует действительности.
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Вычислить среднее квадратическое отклонение в малых выборках, пользуясь данными заданий 1—15 главы 3 (см. параграф 3.1).