Нелинейная регрессия
В биологии кроме линейных часто встречаются и нелинейные зависимости между переменными величинами. Во многих случаях зависимость между у и х может быть выражена уравнением параболы второго порядка:
Параметры данного уравнения находят методом наименьших квадратов по следующей системе нормальных уравнений:
Для решения этой системы относительно параметров а, Ъ и с необходимо предварительно рассчитать ?х, ^у, Х*2> Х.Ух2> Х*3
и ?х4.
Пример. Исследованиями установлено, что удой коров симментальской породы сначала возрастает до пятой-шестой лактации, а затем уменьшается (табл. 6.13). В этой таблице приведены все суммы, необходимые для вычисления параметров а, b и с.
Составляем систему нормальных уравнений:
Эту систему необходимо решить относительно коэффициентов а, Ъ и с способом, который описан при вычислении параметров множественной регрессии.
Таблица 6.13
Динамика удоя коров симментальской породы по лактациям
|
X |
У |
ху |
X2 |
ух2 |
X3 |
X» |
У |
|
1 |
3,756 |
3,756 |
1 |
3,756 |
1 |
1 |
3,991 |
|
2 |
4,914 |
9,827 |
4 |
19,655 |
8 |
16 |
4,912 |
|
3 |
5,375 |
16,124 |
9 |
48,373 |
27 |
81 |
5,50 |
|
4 |
5,959 |
23,836 |
16 |
95,343 |
64 |
256 |
5,903 |
|
5 |
6,142 |
30,710 |
25 |
153,552 |
125 |
625 |
5,972 |
|
X |
У |
УУ |
х2 |
ух2 |
X3 |
*4 |
У |
|
6 |
5,958 |
35,749 |
36 |
214,494 |
216 |
1296 |
5,758 |
|
7 |
5,032 |
35,225 |
49 |
246,576 |
343 |
2401 |
5,259 |
|
8 |
4,485 |
35,885 |
64 |
287,077 |
512 |
4096 |
4,476 |
5)п = 8;$> = 36; Ху = 41,822; X*2 =204; ?*з=1296; Х*4=8772; Хлу = 191,113; ХУ*2 =1068,83
Решив эту систему находим: а = 2,785104167, Ъ = 1,3476399881, с = = -0,14202877.
Следовательно, уравнение параболы второго порядка имеет вид
В табл. 6.13 в последнем столбце приведен ожидаемый удой коров (в тоннах) за любую лактацию, вычисленный по уравнению параболы второго порядка, который хорошо согласуется с эмпирическими данными.
Корреляционное отношение ц = 0,978. Показатель криволинейной связи г2 = 0,956. Эти показатели можно вычислить по следующей формуле:
Задание для самостоятельной работы
Вычислить коэффициенты прямолинейной регрессии для большой и малой выборок, пользуясь данными заданий 1—15 главы 5.
Контрольные вопросы
- 1. Какие показатели применяются для измерения связи между признаками?
- 2. Как вычисляют коэффициент фенотипической корреляции в малых выборках?
- 3. Как вычисляют коэффициент фенотипической корреляции в больших выборках?
- 4. В чем заключается различие связи между признаками при положительных и отрицательных значениях коэффициента корреляции?
- 5. Как вычисляется коэффициент корреляции для альтернативных признаков?
- 6. В каких случаях используется коэффициент ранговой корреляции?
- 7. Как вычисляют коэффициент генетической корреляции?
- 8. Что характеризуют коэффициенты регрессии? В чем различие между коэффициентами Rx/y и Ry/X?
- 9. В чем различие между коэффициентами г и Я?
- 10. Какой может быть корреляция по направлению?
- 11. Какой может быть корреляция по величине?
- 12. В каких единицах измеряется коэффициент регрессии и корреляции?
- 13. Как характеризует связь между признаками коэффициент корреляции?
