Нелинейная регрессия

В биологии кроме линейных часто встречаются и нелинейные зависимости между переменными величинами. Во многих случаях зависимость между у и х может быть выражена уравнением параболы второго порядка:

Параметры данного уравнения находят методом наименьших квадратов по следующей системе нормальных уравнений:

Для решения этой системы относительно параметров а, Ъ и с необходимо предварительно рассчитать ?х, ^у, Х*2> Х.Ух2> Х*3

и ?х4.

Пример. Исследованиями установлено, что удой коров симментальской породы сначала возрастает до пятой-шестой лактации, а затем уменьшается (табл. 6.13). В этой таблице приведены все суммы, необходимые для вычисления параметров а, b и с.

Составляем систему нормальных уравнений:

Эту систему необходимо решить относительно коэффициентов а, Ъ и с способом, который описан при вычислении параметров множественной регрессии.

Таблица 6.13

Динамика удоя коров симментальской породы по лактациям

X

У

ху

X2

ух2

X3

У

1

3,756

3,756

1

3,756

1

1

3,991

2

4,914

9,827

4

19,655

8

16

4,912

3

5,375

16,124

9

48,373

27

81

5,50

4

5,959

23,836

16

95,343

64

256

5,903

5

6,142

30,710

25

153,552

125

625

5,972

X

У

УУ

х2

ух2

X3

*4

У

6

5,958

35,749

36

214,494

216

1296

5,758

7

5,032

35,225

49

246,576

343

2401

5,259

8

4,485

35,885

64

287,077

512

4096

4,476

5)п = 8;$> = 36; Ху = 41,822; X*2 =204; ?*з=1296; Х*4=8772; Хлу = 191,113; ХУ*2 =1068,83

Решив эту систему находим: а = 2,785104167, Ъ = 1,3476399881, с = = -0,14202877.

Следовательно, уравнение параболы второго порядка имеет вид

В табл. 6.13 в последнем столбце приведен ожидаемый удой коров (в тоннах) за любую лактацию, вычисленный по уравнению параболы второго порядка, который хорошо согласуется с эмпирическими данными.

Корреляционное отношение ц = 0,978. Показатель криволинейной связи г2 = 0,956. Эти показатели можно вычислить по следующей формуле:

Задание для самостоятельной работы

Вычислить коэффициенты прямолинейной регрессии для большой и малой выборок, пользуясь данными заданий 1—15 главы 5.

Контрольные вопросы

  • 1. Какие показатели применяются для измерения связи между признаками?
  • 2. Как вычисляют коэффициент фенотипической корреляции в малых выборках?
  • 3. Как вычисляют коэффициент фенотипической корреляции в больших выборках?
  • 4. В чем заключается различие связи между признаками при положительных и отрицательных значениях коэффициента корреляции?
  • 5. Как вычисляется коэффициент корреляции для альтернативных признаков?
  • 6. В каких случаях используется коэффициент ранговой корреляции?
  • 7. Как вычисляют коэффициент генетической корреляции?
  • 8. Что характеризуют коэффициенты регрессии? В чем различие между коэффициентами Rx/y и Ry/X?
  • 9. В чем различие между коэффициентами г и Я?
  • 10. Какой может быть корреляция по направлению?
  • 11. Какой может быть корреляция по величине?
  • 12. В каких единицах измеряется коэффициент регрессии и корреляции?
  • 13. Как характеризует связь между признаками коэффициент корреляции?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >