Расчет изменения числа зерен в сосуде при истечении газо-топливной смеси из сосуда через отверстие

Рассмотрим процесс истечения газо-топливной смеси из данного сосуда S через отверстие в смежный сосуд S,. Пусть в сосуде содержится масса газа Y_x и JV_r одинаковых зерен с массой со₂. Пусть в некоторый момент Г₀ лопается мембрана, отделяющая сосуд S от сосуда S, и газо-пороховая смесь начинает перетекать в сосуд S, из сосуда S через отверстие (короткий канал) К. Необходимо рассчитать горение смеси в сосуде S и ее догорание в сосуде S,, то есть сформулировать алгоритм расчета площади поверхности горения и объема W_? зерен, горящих в сосудах. Процесс схематично изображен на рис. 3.2. Пусть в отверстие в единицу времени вытекает масса смеси G_a, состоящая из массы газа | П_ш | и массы зерен G®. Массе смеси G_a, вытекшей в сосуд S,, соответствует масса смеси G в сосуде S, из которой произошло истечение. Эта масса до истечения состояла из массы газа | П_а; | и массы зерен G_T, из которых часть с массой G_x вытекла в сосуд S„ а часть G - G® осталась в сосуде S в силу запаздывания зерен по отношению к газу при истечении

Рис. 3.2. Схема перетока зерен

В массе G смеси содержится масса G_x зерен, включающая

зерен с массой т_г и в единицу времени из сосуда в отверстие вытечет часть этих зерен с массой

где a'_r — коэффициент вытекания зерен, равный отношению массы зерен, вытекших из сосуда в процессе истечения порции смеси через данное отверстие, к массе зерен, содержавшихся в этой порции до начала процесса истечения. При этом число зерен в сосуде в единицу времени уменьшится на число зерен, содержащееся в массе G®, то есть

Будем полагать, что зерна равномерно распределены по объему сосуда, так что в массе G смеси масса газа П_ш составляет ту же долю, что и масса газа У] в массе У] + со₂ смеси в сосуде

Подставляя (3.34) в (3.35), получим уравнение изменения числа зерен в сосуде при истечении в смежный сосуд i

где П_ш < 0 при истечении из сосуда. Это уравнение справедливо и при затекании газа в сосуд, так как при этом П_ш > 0 и число зерен за счет истечения не меняется, так как правая часть (3.36) превращается в ноль. В уравнении (3.36) N_r — текущее число зерен в сосуде

При ns - 1, то есть при истечении в один смежный сосуд,

и уравнение (3.36) можно переписать в форме

Рассмотрим общий случай. Пусть в сосуде содержится полидисперсная смесь зерен, состоящая из Mf,. фракций (порций) зерен, включающих количества зерен {N_r}^ с размерами {Z_r}^l. В частности, интерес представляет случай, в котором предполагается, что зерна различных размеров образовались в результате горения первоначально одинаковых зерен и Z,. — относительная величина сгоревшей части свода зерна во фракции г.

Будем полагать, что:

• а) процессы истечения зерен одной фракции через 1, 2, ..., ns отверстия в смежные сосуды не зависят друг от друга;
• б) процессы истечения зерен различных фракций через данное отверстие не зависят друг от друга и определяются параметрами У_ь П_ш, а'_г.

Тогда изменение числа зерен фракции г в данном сосуде за счет истечения через данное отверстие в смежный сосуд i будет подчиняться уравнению (3.36). Аналогичное уравнение запишется для изменения числа зерен за счет истечения в смежный канал; = 1, пк. При этом параметры П_ш, а¹г заменяются на Kj, а’_г. Учтем, что в правой части (3.36) от номера фракции зависит только коэффициент вытекания а. или а^]г, который на шаге по времени можно считать постоянным. При этом количество зерен ДN'^{,m + 1}, вытекших из фракции г за интервал времени At_m +1 ⁼ t_m +i) ^в смежный сосуд i, определится из уравнений

с нулевыми начальными условиями в момент времени t_m и соотношениями

где число вытекших зерен округлено до ближайшего меньшего целого. Число зерен, оставшееся в каждой фракции в сосуде S после истечения определится суммированием по всем смежным сосудам и каналам

Отметим, что округление числа вытекших зерен до целого влечет за собой необходимость накапливать «дробные остатки числа вытекших зерен» и суммировать их до пролучения единицы. В момент накопления единицы через данную газодинамическую связь выбрасывается дополнительное целое зерно, что обеспечивает сохранение общего числа зерен в системе сосудов. От такой поправки можно отказаться, если не требовать, чтобы число зерен пороха или твердого остатка в данном сосуде было целым. В соотношении (3.39) использована явная аппроксимация N_r из уравнения (3.37). При решении уравнения (3.37) методом Рунге — Кутта пересчет N_r по формулам (3.39), (3.40) и соответствующее переформирование навесок зерен, горящих в сосудах ГЖТМС, следует делать на каждом из промежуточных шагов Рунге — Кутта. В противном случае явная аппроксимация N_r снижает порядок аппроксимации уравнения (3.37) до первого. Наряду с расчетом N"^{1 +} общего числа зерен фракции г в сосуде S по соотношению (3.40), расчет AN,!^{,m +1} по соотношению (3.39) позволяет определить число зерен, затекающее в каждый из i = 1,..., ns смежных с S сосудов S_;.