Гидростатическое давление

Введем понятие гидростатического давления. Рассмотрим объем жидкости, находящейся в равновесии. Разделим его горизонтальной плоскостью ВС на две произвольные части I и II. Первую часть отбросим (рис. 3.2), а для сохранения равновесия части II суммарное воздействие на нее отброшенной части I заменим силой Р. Тогда напряжение будет называться средним гидростатическим давлением, действующим на площадку со, а предел отношения – гидростатическим давлением в данной точке А, т.е. гидростатическое давление – это напряжение, возникающее в жидкости, находящейся в равновесии. Единица измерения давления в системе СИ: Па = Н/м2.

Схема элемента объема жидкости

Рис. 3.2. Схема элемента объема жидкости

Рассмотрим свойства гидростатического давления

1. Направление силы гидростатического давления всегда совпадает с направлением внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. Это свойство легко доказать от противного. Проведем в жидкости поверхность ω, выделяющую некоторый объем II. Предположим, что в точке А (рис. 3.3) действует сила Р, направленная не по нормали. Тогда ее можно разложить на нормальную и касательную составляющие. Однако касательные силы, обусловленные внутренним трением, могут возникать лишь при движении жидкости, а не при ее равновесии. Отсюда следует, что сила Р может быть направлена лишь по нормали к площадке, на которую она действует.

Схема к объяснению первого свойства гидростатического давления

Рис. 3.3. Схема к объяснению первого свойства гидростатического давления

Так как принимается, что в жидкости не может быть растягивающих усилий (жидкость не оказывает сопротивления действию растягивающих сил), то направление силы гидростатического давления по внешней нормали также невозможно, поэтому она может быть направлена лишь по внутренней нормали. Соответственно этому в жидкости имеют место лишь сжимающие напряжения.

2. Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от направления той площадки, по которой действует сила гидростатического давления. Это значит, что если через точку М провести, например, две площадки 1 – 1 и 2–2 (рис. 3.4), то гидростатические давления на этих площадках по абсолютной величине будут одинаковы, т.е. |р1|= |р2|.

Схема к объяснению второго свойства гидростатического давления

Рис. 3.4. Схема к объяснению второго свойства гидростатического давления

Для доказательства выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный тетраэдр, ребра которого dx, dy, dz выходят из некоторой точки А и параллельны координатным осям х, у, z (рис. 3.5).

Пусть рхуzn средние гидростатические давления, действующие на гранях тетраэдра, площади которых равны dωx, dωy, dωz, dωn. Формулы для давлений будут определяться отношением силы, действующей на соответствующую грань, к ее площади, где индексы х, у, z, п показывают, какое направление является нормалью к данной площадке:

Например, площадь dωx равна площади фигуры 23A, а ось х нормальна к ней и т.д.

На элементарный тетраэдр, например, вдоль оси х действует также массовая сила F = XρdV, где X – проекция ускорения массовой силы, приходящейся на единицу массы, на ось х; ρdV – масса элементарного тетраэдра. Аналогичные силы будут действовать и по другим координатным осям.

По условию жидкость находится в равновесии, поэтому массовые и поверхностные силы должны уравновешиваться. Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось х.

(3.1)

где п – нормаль к плоскости dωn.

Схема сил, действующих на элементарный тетраэдр

Рис. 3.5. Схема сил, действующих на элементарный тетраэдр

Выражая Fx и Fn из приведенных выше формул и подставляя в уравнение (3.1), получаем

(3.2)

Так как, то соотношение (3.2) примет вид

(3.3)

Величины площади dωx и объема тетраэдра dV будут определяться по формулам

(3.4)

(3.5)

Подставляя формулы (3.4), (3.5) в соотношение (3.3), получаем

Отсюда

(3.6)

Переходя к пределу путем приближения площади dωn к точке А, получим dx = 0. Тогда формула (3.6) примет вид

(3.7)

где рх и рn уже не средние, а истинные гидростатические давления в точке А.

Из формулы (3.7) получаем рх = рп.

Составляя условия равновесия сил в проекциях на оси у и z, найдем ру = рn; рz = рn. Отсюда

(3.8)

Из равенств (3.8) следует, что величина гидростатического давления в данной точке не зависит от направления площадки, на которую действует сила гидростатического давления.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >