Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Гидравлика

ГИДРОДИНАМИКА

После изучения главы 4 бакалавр должен:

знать

  • • различие понятий "гидростатика" и "гидродинамика";
  • • методы исследования движущейся жидкости Эйлера и Лагранжа;
  • • принципиальное различие уравнений Эйлера для гидродинамики и Навье – Стокса;
  • • физический, геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли;
  • • вывод уравнения неразрывности;

уметь

  • • провести различие между траекториями частиц и линиями тока;
  • • различать линии равного потенциала скорости и линии тока;
  • • определять объемный и весовой расходы жидкости;
  • • использовать уравнение Бернулли для практического определения скоростей и давлений;

владеть

  • • математическим аппаратом вывода дифференциальных уравнений Эйлера, Навье – Стокса и Бернулли;
  • • навыками нахождения скоростей и давлений с помощью трубки Пито и пьезометра.

Раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости, называется гидродинамикой. При изучении движения жидкостей рассматриваются две основные задачи:

  • 1) заданы гидродинамические характеристики потока (скорость и давление); требуется определить силы, действующие на жидкость;
  • 2) заданы силы, действующие на жидкость; требуется определить гидродинамические характеристики потока.

Применительно к идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет тот же смысл, что и гидростатическое давление. При анализе движения вязкой жидкости оказывается, что

где рх, pу, pz – действительные нормальные напряжения

в рассматриваемой точке, относящиеся к трем произвольно намеченным в этой точке взаимно ортогональным площадкам. Гидродинамическим давлением в точке считают величину

При этом считается, что величина р не зависит от ориентации взаимно ортогональных площадок.

В дальнейшем будет рассматриваться задача определения скорости и давления при известных силах, действующих на жидкость. Следует отметить, что скорость и давление для разных точек жидкости будут иметь различные величины и, кроме того, для данной точки пространства они могут изменяться во времени.

Для определения составляющих скорости по координатным осям их, иу, uz и давления р в гидравлике рассматриваются следующие уравнения:

  • 1) уравнение несжимаемости и неразрывности движущейся жидкости (уравнение баланса расхода жидкости);
  • 2) дифференциальные уравнения движения (уравнения Эйлера);
  • 3) уравнение баланса удельной энергии потока (уравнение Бернулли).

Далее в главе приведены все эти уравнения, составляющие теоретическую базу гидродинамики, с предварительными пояснениями некоторых исходных положений из области кинематики жидкости.

Основные кинематические понятия и определения. Два метода исследования движения жидкости

При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый, развитый Ж. Л. Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц.

Второй, развитый Л. Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость.

В гидродинамике применяются оба эти метода. Однако более распространен метод Эйлера благодаря его простоте.

По методу Лагранжа в начальный момент времени t0 отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени t0 определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т.е. тремя уравнениями

(4.1)

где x, y, z – координаты частицы; t – время.

Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т.е. начальные координаты частиц.

Например, точка М (рис. 4.1) в момент времени t = 0 имеет координаты a, b, с. Соотношения (4.1) с учетом этого примут вид

(4.2)

Схема координат точки М

Рис. 4.1. Схема координат точки М

В соотношениях (4.2) начальные координаты а, b, с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты х, y, z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а, b, с, t, которые называются переменными Лагранжа.

При известных соотношениях (4.2) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени)

(4.3)

Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (см. далее соотношения (4.5)).

Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (4.1) путем нахождения координат х, y, z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени.

По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит:

  • а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства;
  • б) исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой.

Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины.

Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями:

(4.4)

т.е. скорость

является функцией координат и времени.

Переменные х, у, z, t называются переменными Эйлера.

Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т.е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (4.4).

Методы Эйлера и Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt, в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (4.3).

Из соотношений (4.2) следует, что координаты х, у, z являются функциями времени. Тогда будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

где Wx, Wy, Wz – проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси.

Так как для движущейся частицы

то

Частные производныеназываются проекциями локального (местного) ускорения.

Суммы вида называются проекциями конвективного ускорения.

Полные производные называют еще субстанциональными или индивидуальными производными.

Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы