Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Гидравлика

Дифференциальные уравнения линий тока

Пусть в некоторой точке М в данный момент времени вектор скорости о имеет проекции на оси координат υх, υу, υz. Тогда косинусы углов, составляемых вектором скорости о с осями координат, будут

Допустим, что через точку М в данный момент времени проходит линия тока 1 – 1 (рис. 4.10).

Схема сил к выводу дифференциальных уравнений линий тока

Рис. 4.10. Схема сил к выводу дифференциальных уравнений линий тока

Косинусы углов, составляемых касательной к линии тока с осями координат, будут

где dS – элемент линии тока, проходящей через точку М; dx, dy, dz – проекции элемента дуги на оси координат. Вследствие совпадения касательной с направлением вектора скорости соответствующие косинусы должны быть равны, поэтому

Из последних соотношений следует, что

Отсюда получаем следующие дифференциальные уравнения линий тока:

Так как , то дифференциальные уравнения линий тока примут вид

где время t рассматривается как параметр. Задаваясь значениями t для каждого момента времени можно определить линии тока.

Плоское движение. Функция тока

Плоским движением называется движение жидкости параллельно некоторой неподвижной плоскости, при котором все характеристики потока зависят только от двух координат и времени.

Для получения уравнений плоского движения достаточно в общих уравнениях гидродинамики (если, например, движение происходит в плоскости хОу) положить z = 0 и υz = 0.

Например, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в этом случае примет вид

(4.6)

Перепишем соотношение (4.6) в виде

Рассмотрим дифференциальное уравнение линий тока для плоского движения

Последнее уравнение можно переписать в виде

(4.7)

Левая часть полученного соотношения есть полный дифференциал некоторой функции Ψ(x, у), т.е.

(4.8)

Сопоставляя соотношения (4.7) и (4.8), получаем

(4.9)

Дифференцируя первое соотношение из (4.9) по x, а второе – по у, находим

Используя уравнение неразрывности (4.6), можно записать

Отсюда следует, что функциясуществует и ее дифференциал является полным дифференциалом. Кроме того, из дифференциального уравнения линий тока (4.7) имеем

Интегрируя последнее соотношение, находим

(4.10)

Отсюда можно заключить, что во всех точках данной линии тока функция тока ψ сохраняет постоянное значение.

Уравнение (4.10) является уравнением линии тока в конечном, а не дифференциальном виде. Каждой линии тока соответствует своя постоянная С. Например, при обтекании тела жидкостью линии тока будут иметь вид, показанный на рис. 4.11.

Схема распределения линий тока при обтекании тела жидкостью

Рис. 4.11. Схема распределения линий тока при обтекании тела жидкостью

Покажем, что разность функций тока на двух линиях тока равна расходу жидкости между этими линиями, рассчитанному на единицу ширины потока. Ширина потока берется в направлении, перпендикулярном плоскости движения (рис. 4.12).

Обозначим элементарный расход жидкости через единицу ширины потока между двумя бесконечно близкими линиями тока как dq. Этот расход можно определить следующим образом:

Интегрируя последнее соотношение, находим

Схема к объяснению расхода жидкости между двумя линиями тока

Рис. 4.12. Схема к объяснению расхода жидкости между двумя линиями тока

Таким образом, физический смысл функций тока в том, что их разность на единице ширины потока равна расходу жидкости между двумя соответствующими линиями тока.

Заметим, что для трехмерного потока в общем случае функция тока не существует.

Вихревое и безвихревое потенциальное течение жидкости

Из теоретической механики известно, что в общем случае движения твердого тела скорость любой его точки можно разложить на две составляющие: скорость поступательного движения полюсаи скорость вращательного движения вокруг этого полюса, т.е.

В отличие от этого скорость движения жидкого элемента, как показывается в теоретической гидромеханике, можно разложить на три составляющие:

где – скорость поступательного движения; – скорость вращательного движения; – скорость деформации.

Это утверждение лежит в основе теоремы Коши – Гельмгольца. Такое разложение скорости естественно, так как в отличие от твердого тела жидкий элемент помимо поступательного и вращательного движения будет, очевидно, еще претерпевать деформацию.

Остановимся подробнее лишь на вращательной составляющей скорости.

Рассмотрим для простоты плоское движение жидкости, происходящее в плоскости хОу. Выделим в жидкости элементарный треугольник АВС с вершиной в начале координат и сторонами АВ = dy и АС = dx (рис. 4.13).

Схема к объяснению теоремы Коши – Гельмгольца

Рис. 4.13. Схема к объяснению теоремы Коши – Гельмгольца

Пусть проекции скорости точки А есть и . Тогда проекция скорости в точке В на ось х будет записываться в виде

Проекция скорости в точке С на ось у будет

Жидкость в точке В будет вращаться относительно точки А со скоростью, а в точке С – со скоростью.

В момент времени t + dt треугольник переместится на определенное расстояние и получит деформацию так, что его биссектриса AD (рис. 4.14) повернется на некоторый угол и займет положение(рис. 4.15). Совместим теперь точки А и A' в начале координатных осей х и у, сохранив направление биссектрисы(рис. 4.16).

Определим угловые скорости вращения сторон АВ и АС, обозначив их через ω1 и ω2:

Схема к объяснению вихревого движения жидкости

Рис. 4.14. Схема к объяснению вихревого движения жидкости

Вспомогательная схема к объяснению вихревого движения жидкости

Рис. 4.15. Вспомогательная схема к объяснению вихревого движения жидкости

Схема к объяснению ротора вектора скорости

Рис. 4.16. Схема к объяснению ротора вектора скорости

Покажем, что

Так как , то

Отсюда угловая скорость вращения биссектрисы жидкого элемента вокруг оси z будет

или

В более общем случае трехмерного движения, рассуждая аналогично, получим

Следовательно, компоненты угловой скорости вращения жидкого элемента в данной точке жидкости равны полуразностям частных производных от проекций скоростей по координатам х, у, z.

Вектор, компоненты которого равны

называется ротором вектора скорости и обозначается

Ротор характеризует вращательное движение жидкости в окрестности данной точки. Следовательно, ротор (или вихрь) есть вектор, равный удвоенному вектору угловой скорости вращения жидкости в данной точке:

Движение жидкости с вращением ее частиц вокруг своих центров называется вихревым движением. Движение в трубопроводах также является вихревым. Примерами вихревых движений являются циклоны, смерчи и др.

Образование вихрей обусловлено вязкостью жидкости. Движение жидкости без вращения ее частиц называется безвихревым или потенциальным. Если движение безвихревое, тои, т.е. вихрь скорости равен нулю. При этом, очевидно, компоненты вихря равны нулю, т.е. имеем

Из последних соотношений следует, что выражение

есть полный дифференциал некоторой функции координат Из сопоставления в последнем соотношении получим

(4.11)

Отсюда следует, что существует такая функция координат φ = φ(х, у, z), частные производные от которой по соответствующим координатам равны компонентам скорости.

По аналогии с потенциалом вектора силы функцию φ называют потенциалом скорости, а безвихревое движение называют также потенциальным.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид

Подставляя сюда компоненты скорости, выраженные через функцию ф, получаем

(4.12)

Последнее уравнение называется уравнением Лапласа. Таким образом, в случае безвихревого движения задача нахождения трех функций

сводится к задаче определения лишь одной скалярной функции – потенциала скорости Компоненты скоростиполучаются простым дифференцированием этой функции по координатам.

Поверхности равного потенциала скорости можно получить, если найденную функцию φ положить равной некоторой постоянной С:

Если движение плоское, то

(4.13)

и являются линиями на плоскости.

При плоском движении, как уже указывалось выше (см. параграф 4.5), линии тока определяются уравнением

В теоретической гидродинамике показывается, что линии и ортогональны (взаимно перпендикулярны) (рис. 4.17).

Таким образом, для плоского и потенциального потока картина движения может быть графически представлена в виде ортогональной сетки, составленной из взаимно ортогональных линий тока и линий равного потенциала скорости.

В случае безвихревого потенциального движения функция потенциала скорости ср, как было показано выше, удовлетворяет уравнению Лапласа (4.12) или для плоского движения (4.13). Компоненты скорости находятся из соотношений (4.11).

Легко показать, что в случае плоского безвихревого потенциального движения функция токатакже удовлетворяют уравнению Лапласа, а компоненты скорости находятся из соотношений

Схема расположения линий равного потенциала скоростей и линий

Рис. 4.17. Схема расположения линий равного потенциала скоростей и линий

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы