Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Гидравлика

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье – Стокса)

Вязкой называют такую жидкость, которая при своем движении оказывает сопротивление сдвигающим усилиям. Все жидкости, существующие в природе, являются вязкими, и поэтому вязкую жидкость называют еще реальной жидкостью. Рассмотрим поверхностные силы, действующие в вязкой жидкости.

В вязкой жидкости ввиду наличия сил трения возникают касательные напряжения. Поэтому напряжения, действующие на площадку, могут быть направлены как угодно по отношению к ней, а не обязательно по нормали.

В вязкой жидкости различают два рода напряжений.

  • 1. Нормальное напряжение – проекция на нормаль п в данной точке поверхности.
  • 2. Касательное напряжение – проекция на касательную плоскость к поверхности в данной точке. Касательные напряжения имеют место лишь при движении вязкой жидкости.

Схема поверхностных сил, действующих в вязкой жидкости, представлена на рис. 4.21. Первый индекс при р указывает нормаль к площадке, на которую действует напряжение, второй – ось, на которую оно спроектировано.

Схема напряжений, возникающих в вязкой жидкости

Рис. 4.21. Схема напряжений, возникающих в вязкой жидкости

Выделим в движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами, параллельными осям х, у, z, и рассмотрим поверхностные силы, действующие на сто гранях (рис. 4.22).

Схема сил, действующих на элементарный параллелепипед

Рис. 4.22. Схема сил, действующих на элементарный параллелепипед

Условимся считать нормальное напряжение положительным в том случае, когда оно направлено но внешней нормали. Нормальное напряжение – это реакция жидкого элемента на воздействие окружающей его жидкости.

В вязкой жидкости, в противоположность невязкой, напряжение зависит от ориентации площадки в данной точке. Однако, как строго доказывается в технической гидромеханике, сумма всех нормальных напряжений в данной точке не зависит от ориентации площадки и, следовательно, эта сумма является скалярной функцией только координат точки и времени, в связи с чем вводится новое понятие о гидромеханическом давлении.

Гидромеханическим давлением в вязкой жидкости называют давление, величина которого равна среднему арифметическому из величин любых трех нормальных напряжений в данной точке:

Знак "минус" берется потому, что рxx, руу, рzz, направленные по внешней нормали, всегда отрицательны, а р должно быть положительным, как это обычно принимают в гидравлике. Таким образом, понятия гидромеханического давления в вязкой жидкости и гидродинамического давления в невязкой идеальной жидкости существенно различны.

Дадим упрощенный вывод уравнений движения вязкой жидкости применительно лишь к частному случаю несжимаемой жидкости. Рассмотрим вначале одномерное движение жидкости в направлении, параллельном оси Ох.

Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dxy dy, dz (рис. 4.23). Соотношение (4.16) для сил, действующих на элементарный параллелепипед, в данном случае будет

(4.17)

где Fтр – сила трения, определяемая по формуле

Схема сил к выводу уравнений Навье – Стокса

Рис. 4.23. Схема сил к выводу уравнений Навье – Стокса

По закону Ньютона для касательного напряжения т имеем

где – динамическая вязкость.

Отсюда сила трения будет равна

Формулы для силбыли указаны в параграфе 4.8. Подставляя их и выражение для силы трения в формулу (4.17), получим

Отсюда

где

В общем случае движения в трехмерном пространстве, когда vx изменяется по всем направлениям, а не только в направлении оси z, проекция силы трения на ось х определится более сложным выражением

Тогда уравнение движения в проекции на ось х будет

Для всех трех осей х, у, z получим в развернутом виде

Последние три уравнения представляют систему дифференциальных уравнений Навье – Стокса для вязкой несжимаемой жидкости.

В векторной форме можно записать

где

i, j, k – орты координатных осей (см. параграф 3.3).

Уравнения Навье – Стокса являются основными в гидромеханике вязкой жидкости. Но они определяют течение реальной вязкой жидкости вполне лишь тогда, когда подтверждается закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости.

Добавим к полученным уравнениям движения уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Полагая, что массовые силы X, Y, Z заданы, получим замкнутую систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями

Принципиально эта система при заданных условиях однозначности дает возможность строгого решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости. Однако аналитические решения уравнений Навье – Стокса найдены лишь для весьма ограниченного круга частных случаев при существенных упрощающих допущениях.

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы