Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

В технической гидромеханике уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же элементарной струйки.

При выводе этого уравнения принимаются следующие допущения:

  • 1) движение жидкости установившееся;
  • 2) массовые силы имеют потенциал, т.е.; ; ;
  • 3) жидкость баротропна, т.е. плотность является функцией лишь одного давления:

Запишем систему дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся жидкости:

Умножим обе части каждого из уравнений на dx, dy, dz соответственно и сложим полученные соотношения:

(4.18)

Считая dx, dy, dz не любыми произвольными приращениями координат, а приращениями, взятыми по какой-либо линии тока, а также учитывая, что при установившемся движении линии тока и траектории частиц совпадают, получаем

Преобразуем левую часть уравнения (4.18):

В правой части уравнения будем иметь

Так как , то

Отсюда уравнение (4.18) примет вид

или

Интегрируя последнее соотношение по линии тока, получаем

(4.19)

где – функция Громеко; С – константа интегрирования.

Соотношение (4.19) называется интегралом Бернулли или уравнением Бернулли в общем виде. Оно показывает, что при установившемся движении баротропной идеальной жидкости в поле потенциальных сил сумма трех членов и, Р и одинакова во всех точках на данной линии тока. Очевидно, что оно будет верно также и для элементарной струйки тока, выделенной вокруг данной линии тока.

В частном случае тяжелой несжимаемой невязкой жидкости будем иметь потенциал массовой силы тяжести в виде

(4.20)

Для несжимаемой жидкости ρ = const, и функция Громеко приводится к виду

(4.21)

Подставляя выражения (4.20), (4.21) в формулу (4.19), получаем

С учетом соотношения для плотности жидкости γ = ρg найдем

Отсюда для двух различных точек линии тока или для двух различных сечений элементарной струйки можно написать

Таким образом, для всех частиц, расположенных на одной и той же линии тока, сумма трех величин z, и сохраняет постоянное значение.

Физический и геометрический смысл уравнения Бернулли. Напор жидкости

Уравнению Бернулли можно дать два различных истолкования: физическое и геометрическое.

С физической точки зрения уравнение Бернулли есть выражение закона сохранения энергии для движущейся жидкости.

Действительно, рассмотрим величину

Эта сумма трех слагаемых называется полным напором жидкости или гидродинамическим напором.

С физической точки зрения напор есть механическая энергия жидкости, отнесенная к единице веса жидкости. Для того чтобы это показать, рассмотрим жидкость, движущуюся по трубопроводу (рис. 4.24). Выделим в движущейся жидкости частицу М с массой m, ее вес Р= mg. Потенциальная энергия этой частицы в поле силы тяжести по отношению к плоскости сравнения 0–0 будет mgz, а потенциальная энергия, отнесенная к единице веса, будет

т.е. z есть удельная потенциальная энергия положения частицы жидкости – энергия, отнесенная к единице веса.

Под действием давления р частица жидкости М может подняться на высоту и, следовательно, совершить работу (рис. 4.25)

т.е. она обладает потенциальной энергией давления в размере

Схема к объяснению физического смысла уравнения Бернулли

Рис. 4.24. Схема к объяснению физического смысла уравнения Бернулли

Схема к объяснению энергетического смысла уравнения Бернулли

Рис. 4.25. Схема к объяснению энергетического смысла уравнения Бернулли

Потенциальная энергия давления, отнесенная к единице веса, будет

т.е. есть удельная потенциальная энергия давления частицы жидкости – энергия, отнесенная к единице веса жидкости.

Кроме того, выделенная частица обладает скоростью и, следовательно, имеет кинетическую энергию, равную .

Кинетическая энергия, отнесенная к единице веса, будет

Напор жидкости

будет, следовательно, равен полной энергии частицы жидкости, отнесенной к единице веса.

Таким образом, физическое истолкование уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в том, что для любых сечений 1 и 2 полная удельная энергия остается неизменной:, или

Уравнению Бернулли можно дать наглядное геометрическое истолкование. Для этого снова рассмотрим отдельные члены суммы

Имеем: г – геометрическая высота данной частицы жидкости над условной плоскостью сравнения;– пьезометрическая высота – высота, на которую поднимется жидкость в пьезометре;– скоростная высота – высота, на которую поднимется жидкость, имея начальную скорость υ.

Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Бернулли в любом сечении элементарной струйки идеальной жидкости представляет собой сумму трех высот: геометрической, пьезометрической и скоростной, которая остается неизменной.

График уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости представлен на рис. 4.26.

График уравнения Бернулли

Рис. 4.26. График уравнения Бернулли

Если сечение струйки увеличивается, то скорость падает, а давление возрастает, т.е. энергия, сохраняясь в целом, переходит из одного вида в другой (кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот).

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >