ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

После изучения главы 5 бакалавр должен:

знать

  • • основные понятия и определения теории подобия;
  • • физический смысл критериев подобия;
  • • метод анализа размерностей;
  • • основы математического моделирования;
  • • математические постановки краевых задач гидромеханики;
  • • отличие параболических уравнений от гиперболических;

уметь

  • • использовать теорию подобия при решении практических задач;
  • • применять теоремы теории подобия при выполнении математического моделирования;
  • • находить решения краевых задач, используя метод разделения переменных и интегральные методы;

владеть

• математическим аппаратом решения краевых задач гидромеханики.

Существует два метода исследования физических явлений – аналитический и экспериментальный. При аналитическом исследовании движения жидкости задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при заданных условиях однозначности. Например, для вязкой несжимаемой жидкости имеем систему дифференциальных уравнений

(5.1)

(5.2)

где (5.1) – система уравнений Навье – Стокса, записанных в векторной форме (см. параграф 4.9); (5.2) – уравнение неразрывности. Кроме того, должны быть заданы начальные и граничные условия и значения физических постоянных ρ и v.

В принципе совокупностью системы основных дифференциальных уравнений и условий однозначности конкретное единичное явление определено вполне. Однако эти уравнения чрезвычайно сложны (являются уравнениями в частных производных), и решения найдены лишь для небольшого числа частных случаев, к тому же при весьма существенных упрощающих предпосылках.

Другим методом исследования является непосредственный эксперимент. При этом измеряются те величины, которые представляют прямой практический интерес, и находятся связи, допускающие непосредственное приложение. Однако данные, полученные из опыта, будут относиться только к тому частному случаю, для которого выполнялся эксперимент. Необходимо найти пути обобщения данных опыта на другие родственные явления. Это позволило бы на основании немногих экспериментов судить о параметрах жидкости в многочисленных родственных явлениях. Задача нахождения научно обоснованного метода обобщения данных опыта решается теорией подобия, которая и является учением о методах обобщения данных опыта.

Основные понятия и определения теории подобия

Дадим некоторые определения теории подобия.

Под классом явлений понимается система дифференциальных уравнений, описывающих физическое явление. Например, системой уравнений Навье – Стокса и уравнением неразрывности описываются все возможные виды движения вязкой несжимаемой жидкости в каналах любой формы.

Под единичным явлением понимается система дифференциальных уравнений с наложенными на нее условиями однозначности.

Под группой явлений понимается система дифференциальных уравнений с наложенными на нее подобными условиями однозначности. Например, явления, протекающие в каналах, геометрически подобных, будут относиться к одной группе явлений.

Основная идея теории подобия заключается в выделении внутри класса явлений более узких групп.

Подобными явлениями называются такие, у которых отношение характеризующих их переменных есть постоянное число. Существуют следующие виды подобия.

1. Для того чтобы модель была механически подобна образцу (объекту, для которого создается модель), прежде всего должно соблюдаться геометрическое подобие; для этого отношение длин сходственных отрезков образца и модели должно быть одинаковым, т.е.

где – некоторый линейный размер потока модели; – соответствующий размер потока в образце; – константа геометрического подобия (линейный масштаб модели).

Из последней формулы следуют также соотношения

где– площади модели и образца;– объемы модели и образца соответственно.

2. При получении модели кроме геометрического подобия необходимо соблюдать еще динамическое подобие, которое означает, что все силы, вызывающие рассматриваемые движения в модели, должны быть изменены с аналогичными силами в образце в одно и то же число раз.

Сила F определяется в виде произведения массы т на ускорение а, т.е. Так как размерность массы , а ускорения , то размерность силы будет

Отсюда следует, что для динамического подобия необходимо соблюдение соотношения

(5.3)

где ; ; ; – константа динамического подобия (масштаб сил).

Условие (5.3) является математическим выражением общего закона динамического подобия, который впервые был сформулирован И. Ньютоном.

В теории подобия доказывается, что при выполнении геометрического и динамического подобия будет соблюдаться также и кинематическое подобие.

В случае, когда из действующих сил превалируют силы трения, то из закона Ньютона для касательного напряжения можно получить, что . Отсюда, учитывая формулу (5.3) и соотношение , получаем

Последнее соотношение представляет условие динамического подобия Рейнольдса при действии сил внутреннего трения.

Если влияние вязкости (сил трения) незначительно и движение жидкости происходит в основном под действием сил тяжести, то , где g – ускорение силы тяжести.

Соотношение (5.3) в данном случае принимает вид

Последнее соотношение называется законом подобия Фруда.

Таким образом, для двух подобных явлений должны существовать соотношения типа

и т.д.,

где сохраняют постоянные значения в соответственных точках подобных систем. Поэтому эти величины называются константами подобия.

Вообще говоря, подобных явлений бывает не два, а бесконечно большое количество. Эти явления составляют группу подобных явлений. Поэтому выражение вида есть групповое преобразование явлений, гдепринимает последовательно постоянные значения при переходе от одного явления к другому, подобному первому.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >