Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Товароведение arrow Гидравлика

Динамический пограничный слой

При обтекании плоской поверхности потоком жидкости вблизи стенки происходит образование ламинарного динамического пограничного слоя(рис. 5.20). В пределах этого слоя в результате действия сил вязкостного трения скорость изменяется от 0 на стенке до скорости невозмущенного потока υ на внешней границе пограничного слоя. Течение жидкости в динамическом пограничном слое на небольших расстояниях от кромки пластины является ламинарным. Однако на некотором расстояниипроисходит срыв ламинарного пограничного слоя, и течение принимает турбулентный характер. В этом случае в пределах турбулентного пограничного слоя происходит интенсивное перемешивание жидкости. В то же время вблизи поверхности сохраняется тонкий вязкий подслой δл, в пределах которого течение жидкости ламинарное.

Схема ламинарного и турбулентного пограничных слоев

Рис. 5.20. Схема ламинарного и турбулентного пограничных слоев

Приближенные формулы для толщин ламинарного и турбулентного пограничных слоев имеют вид [22]

(5.82)

где – число Рейнольдса, в котором в качестве характерного размера принято расстояние х.

Переход к турбулентному режиму течения жидкости в пограничном слое определяется критическим числом Рейнольдса, которое при продольном обтекании пластины принимается равным .

Впервые теоретический расчет распределения скоростей в ламинарном пограничном слое путем численного интегрирования системы дифференциальных уравнений пограничного слоя был выполнен Г. Блазиусом в 1908 г. В частности, расчеты показали, что отношение скоростей зависит лишь от одной переменной (рис. 5.21). Анализируя эту зависимость, можно заключить, что уже при значении . Это значениеопределяет расстояние , принимаемое за толщину ламинарного пограничного слоя. Отсюда получается первая формула в соотношениях (5.82).

Касательное напряжение трения в ламинарном пограничном слое определяется по формуле

Формула для среднего значения касательного напряжения на отрезке имеет вид

Из нес следует, что касательное напряжение в ламинарном пограничном слое уменьшается с увеличением l.

На основе обобщения экспериментальных данных получена формула для определения скоростей в пределах турбулентного пограничного слоя

В пределах толщины вязкого подслояраспределение скорости становится практически линейным.

Кривые зависимостей безразмерных скоростей от безразмерной координатыдля ламинарного и турбулентного пограничных слоев даны на рис. 5.22.

Обобщение экспериментальных данных приводит к формуле для определения касательных напряжений в турбулентном пограничном слое [15]

Средняя величина касательных напряжений на отрезке будет

Распределение скорости в ламинарном пограничном слое

Рис. 5.21. Распределение скорости в ламинарном пограничном слое

Распределение скорости в ламинарном (1) и турбулентном (2) пограничных слоях

Рис. 5.22. Распределение скорости в ламинарном (1) и турбулентном (2) пограничных слоях

Из последней формулы следует, что касательное напряжение при турбулентном пограничном слое уменьшается в меньшей степени, чем при ламинарном.

Аналитические решения уравнений динамического пограничного слоя

Таким образом, при обтекании тела потоком жидкости вблизи стенки образуются динамический ламинарный и турбулентный пограничные слои (см. рис. 5.20–5.22), которые представляют собой границы соответствующих фронтов возмущения, отделяющие возмущенный поток от невозмущенного.

Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя (уравнения Прандтля) выводятся из уравнений движения (Навье – Стокса) и уравнения сплошности, которые с учетом ряда допущений имеют вид 110, 221

(5.83)

(5.84)

где – кинематическая вязкость жидкости; – составляющие скорости по соответствующим координатным осям; х, у – координаты.

Граничные условия для уравнений (5.83) и (5.84) будут

(5.85)

(5.86)

(5.87)

(5.88)

где – толщина динамического пограничного слоя (см. рис. 5.20); υ – скорость невозмущенного потока вдоль оси х.

Граничное условие (5.87) характеризует плавность сопряжения профилей скоростей на внешней границе пограничного слоя. Граничное условие (5.88) получается из дифференциального уравнения (5.83) при у = 0, где Следовательно, соблюдение условия (5.88) является выполнением уравнения (5.83) в точке у = 0. Соотношение (5.88) является дополнительным граничным условием в задаче (5.83) – (5.88).

Задача (5.83) – (5.88) является нелинейной. Точные аналитические решения ее не получены – получены решения лишь путем численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений (5.83), (5.84) [22].

Найдем приближенное аналитическое решение задачи (5.83) – (5.88). Для этого потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не исходным уравнениям (5.83), (5.84), а осредненным в пределах толщины динамического слоя, т.е. определим интегралы от данных уравнений по переменной у в пределах от у = 0, до:

(5.89)

(5.90)

Интеграл в правой части соотношения (5.89) с учетом граничного условия (5.87) приводится к виду

(5.91)

Запишем закон Ньютона для касательного напряжения в жидкости, прилегающей к стенке:

(5.92)

Соотношение (5.92) можно записать в виде

(5.93)

Подставляя соотношение (5.93) в равенство (5.91), находим

Выполняя интегрирование по частям во втором члене левой части уравнения (5.89), получаем

С учетом граничного условия (5.86) и уравнения неразрывности (5.84) последнее соотношение приводится к виду

(5.94)

Подставляя соотношение (5.90) в уравнение (5.94), находим

(5.95)

Подставляя равенства (5.93), (5.95) в уравнение (5.89), с учетом (5 .87) получаем

(5.96)

Соотношение (5.96) приводится к известному интегральному уравнению для гидродинамического пограничного слоя, впервые полученному Карманом в 1921 г.:

(5.97)

Учитывая соотношение (5.92), а также тот факт, что интегралы в левой части зависят лишь от одной переменной х, соотношение (5.97) можно представить в виде

(5.98)

Суть использования интегрального уравнения (5.98) состоит в том, что при получении решения задачи (5.83) – (5.88) требуется выполнение не исходных дифференциальных уравнений в частных производных (5.83), (5.84), а некоторых осредненных по толщине динамического пограничного слоя, которые в конечном итоге сводятся к одному интегральному уравнению вида (5.98). Разумеется, подобное осреднение снижает точность решения исходных уравнений (5.83), (5.84). Однако, как будет показано ниже, применение дополнительных граничных условий позволяет найти такое приближенное аналитическое решение, которое в зависимости от числа приближений удовлетворяет уравнениям (5.83), (5.84) практически с заданной степенью точности.

Решение интегрального уравнения (5.98) с граничными условиями (5.85) – (5.88) примем в виде алгебраического полинома

(5.99)

где – неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (5.85) – (5.88).

Подставляя разложение (5.99), ограничиваясь четырьмя членами ряда, в граничные условия (5.85) – (5.88), относительнополучаем систему четырех алгебраических линейных уравнений. Ее решение –

(5.100)

Подставляя равенства (5.100) в формулу (5.99), находим

(5.101)

Подставляя выражение (5.101) в интегральное уравнение (5.98), относительно неизвестной функции δ(х) будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение

(5.102)

Интегрируя уравнение (5.102), при начальном условии находим

(5.103)

где

Соотношения (5.101), (5.103) представляют решение задачи (5.83) – (5.88) в первом приближении. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что соотношение (5.101) точно удовлетворяет граничным условиям (5.85) – (5.88) и интегральному уравнению (5.98). Уравнения (5.83), (5.84), как это следует из уравнений (5.89), (5.90), в данном случае удовлетворяются лишь в среднем.

Соотношение (5.103) представим следующим образом:

(5.104)

Из соотношения (5.104) следует, что условие, лежащее в основе всей теории пограничного слоя, выполняется при достаточно больших числах Рейнольдса. Следовательно, теория пограничного слоя является теорией движения реальной жидкости при больших значениях числа Рейнольдса.

Результаты расчетов безразмерной скорости по формуле (5.101) в сравнении с точным решением уравнений (5.83), (5.84) (численное интегрирование) [22] приведены на рис. 5.23, 5.24. Анализ полученных результатов позволяет заключить, что в диапазоне безразмерной переменной () максимальное расхождение составляет 3%, в интервале достигает уже 15%, а при решение (5.101) практически непригодно для использования. Таким образом, решение в первом приближении наименее точным оказывается вблизи границы динамического пограничного слоя.

Распределение безразмерных скоростей в зависимости от безразмерной координаты

Рис. 5.23. Распределение безразмерных скоростей в зависимости от безразмерной координаты:

1, 2, 3, 4 – первое, второе, третье и четвертое приближения; 5 – точное решение [22]

Графики распределения изотах в динамическом пограничном слое

Рис. 5.24. Графики распределения изотах в динамическом пограничном слое;

Ввиду того что решение задачи о распределении скорости в динамическом пограничном слое вида (5.101) будет использовано далее при решении задачи для теплового пограничного слоя, такое расхождение полученных результатов с точным решением может привести к еще большей неточности в определении распределения температуры внутри теплового слоя. Вопрос точности решения динамической задачи актуален еще и потому, что при решении задачи для теплового пограничного слоя исходное уравнение энергии также осредняется и приводится к интегральному уравнению (интегралу теплового баланса). К тому же следует учесть еще и тот факт, что при получении исходных дифференциальных уравнений для динамического пограничного слоя вида (5.83), (5.84) были приняты допущения, позволившие максимально упростить математическую постановку задачи. В связи с этим проблема точности решения исходных уравнений (5.83), (5.84) является весьма актуальной. Важность получения как можно более точных решений этих уравнений состоит еще в том, что на основе этих решений выводятся широко используемые в теории конвективного теплообмена формулы для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений.

Соотношение (5.101) благодаря полиномиальной зависимости скорости от координаты у позволяет построить линии изотах (одинаковых скоростей) в пределах толщины динамического пограничного слоя в координатах у, х (см. рис. 5.24). Задавая постоянные значения безразмерной скорости , для различных значений координаты х находим такие г/, которые удовлетворяют соотношению (5.101).

На основе графиков рис. 5.24 по соотношению определяются скорости перемещения изотах по координате у в зависимости от координаты х (рис. 5.25). Анализ распределения изотах позволяет заключить, что все они () возникают на поверхности стенки в точке х = 0, у = 0, имея при этом бесконечно большие начальные скорости. Затем по мере продвижения изотах по координате у в зависимости от координаты х их скорости существенно уменьшаются с последующей стабилизацией изменения по закону, близкому к линейному. Изотаха нулевой скоростисовпадает с осью х и имеет скорость перемещения, равную нулю. Изотаха единичной скоростисовпадает с линией динамического пограничного слоя и имеет максимальную скорость перемещения. Отметим, что наибольший градиент скорости имеют изотахи малого потенциала на относительно небольшом расстоянии по координате х.

Для повышения точности решения задачи (5.83) – (5.88) необходимо увеличивать степень полинома (5.99). Для определения вновь возникающих при этом неизвестных коэффициентовбудем привлекать дополнительные граничные условия. Принцип их нахождения заключается в следующем. Для получения первого из них уравнение (5.83) применяется в точке у = 0. Именно таким путем было получено дополнительное граничное условие (5.88). Для получения второго дополнительного граничного условия применим уравнение (5.83) в точке:

(5.105)

Графики изменения скоростей движения изотах W = Δу/Δх по координате у в зависимости от координаты х

Рис. 5.25. Графики изменения скоростей движения изотах W = Δу/Δх по координате у в зависимости от координаты х

Продифференцируем граничное условие (5.86) по переменной х. Так как из условия (5.86) требуется находить значение в точке , то у является функцией х и, следовательно, будет сложной функцией. Тогда по правилу определения производной от сложной функции будем иметь

Последнее соотношение с учетом граничного условия (5.87) примет вид

(5.106)

Уравнение (5.105) с учетом соотношений (5.87) и (5.106) будет

(5.107)

Соотношение (5.107) представляет второе дополнительное граничное условие, из которого следует, что подчинение решения вида (5.183) этому условию равносильно выполнению уравнения (5.83) во всех точках

Для получения последующих дополнительных граничных условий необходимо дифференцировать (многократно) уравнение (5.83) по переменной у, а граничные условия (основные и дополнительные) – по переменной х. Сравнивая образующиеся при этом соотношения, можно получить какое угодно количество дополнительных граничных условий, необходимых для получения как можно более точных аналитических решений уравнений (5.83), (5.84). Например, для получения третьего дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (5.83) по переменной у и запишем полученное соотношение для точки:

(5.108)

Соотношение (5.108) с учетом условий (5.86), (5.87), (5.107) примет вид

(5.109)

Продифференцируем граничное условие (5.87) но переменной х, учитывая, что– сложная функция:

Последнее соотношение с учетом условия (5.107) примет вид

(5.110)

Сравнивая соотношения (5.109) и (5.110), получаем третье дополнительное граничное условие

(5.111)

По физическому смыслу данное граничное условие означает выполнение на границе динамического пограничного слоя соотношения, полученного после определения первой производной по переменной у от уравнения (5.83).

Для получения четвертого дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (5.83) по переменной у и запишем полученное соотношение для точки у = 0:

(5.112)

С учетом уравнения неразрывности (5.84) и граничного условия (5.85) соотношение (5.112) приводится к виду

(5.113)

Соотношение (5.113) представляет четвертое дополнительное граничное условие.

Для получения следующих двух дополнительных граничных условий необходимо продифференцировать уравнение (5.83) дважды по переменной у и записать полученные соотношения для точеки. Сравнивая полученные соотношения с соотношениями, найденными посредством дифференцирования граничных условий (5.88) и (5.107) по переменной х, находим следующие два дополнительные граничные условия:

(5.114)

Аналогично можно получить какое угодно количество дополнительных граничных условий.

Физический смысл дополнительных граничных условий заключается в выполнении исходного дифференциального уравнения (5.83) и выражений, полученных после определения производных различной степени от него, в точках у = 0 и у = δ(х) (на линии динамического пограничного слоя – фронте гидравлического возмущения). Ввиду того что перемещение фронта гидравлического возмущения охватывает весь диапазон изменения переменной у, следовательно, для всех значений переменной х, которым соответствуют значения переменной у, обозначающие линию динамического пограничного слоя, уравнение (5.83) выполняется точно. Таким образом, благодаря использованию дополнительных граничных условий можно существенно повысить точность выполнения исходного дифференциального уравнения, несмотря на то что функция δ(х) определяется из интегрального уравнения (5.98), которое в любом приближении выполняется точно. При этом точность выполнения уравнения (5.83) будет зависеть от числа дополнительных граничных условий – числа приближений (числа членов ряда (5.99)).

Для получения решения задачи (5.83) – (5.88) во втором приближении подставим соотношение (5.99), ограничиваясь шестью членами ряда, в основные (5.85) – (5.87) и дополнительные (5.88), (5.107), (5.111) граничные условия. Относительно неизвестных коэффициентов 8), k = 0,1,..., 5, будем иметь систему из шести алгебраических линейных уравнений. Подставляя найденные из решения этой системы коэффициенты аk(δ) в соотношение (5.99), получаем

Подставляя выражение (5.115) в интегральное уравнение

(5.98), относительно неизвестной функции δ(х) будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение вида

(5.115)

(5.116)

Интегрируя уравнение (5.116), при начальном условии находим

(5.117)

Соотношения (5.115), (5.117) представляют решение задачи (5.83) – (5.88) во втором приближении. Результаты расчетов по формуле (5.115) в сравнении с первым приближением и точным решением [22] даны на рис. 5.23. Их анализ позволяет заключить, что максимальное расхождение полученного решения с точным составляет около 2%. Важным является тот факт, что произошло значительное повышение точности на участках координаты г/, расположенных вблизи границы пограничного слоя ().

Для получения решения в третьем приближении были использованы дополнительные граничные условия

(5.118)

Граничные условия (5.85) – (5.88), (5.107), (5.111), (5.114), (5.118) позволяют определить уже девять неизвестных коэффициентов , ряда (5.99). Подставляя соотношение (5.99) в перечисленные граничные условия, относительно получим систему девяти алгебраических линейных уравнений. С учетом найденных значений коэффициентовсоотношение (5.99) принимает вид

(5.119)

Подставляя соотношение (5.119) в интегральное уравнение (5.98), относительно неизвестной функции δ(x) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида

(5.120)

Разделяя переменные в уравнении (5.120) и интегрируя, при начальном условии получаем

(5.121)

Соотношения (5.119), (5.121) представляют решение задачи (5.83) – (5.88) в третьем приближении. Результаты расчетов по формуле (5.119) в сравнении с точным решением 1221 даны на рис. 5.23. Их анализ позволяет заключить, что безразмерные скорости, полученные по формуле (5.119), на большей части изменения безразмерной координаты() практически совпадают с точными их значениями, и лишь на участкемаксимальное расхождение составляет около 1%.

Найдем решение задачи (5.83) – (5.88) в четвертом приближении. Дополнительные граничные условия в данном случае имеют вид

Отметим, что в каждом приближении используются три дополнительных граничных условия; одно условие задается при у = 0, а два других – при у = δ(х). Использование меньшего количества дополнительных граничных условий не приводит к заметному повышению точности решения в данном приближении.

Подставляя соотношение (5.99) во все основные и дополнительные граничные условия, относительно неизвестных коэффициентов ak(δ), k = 0, 1,..., 11, будем иметь систему из двенадцати алгебраических линейных уравнений. После определения ak(δ) соотношение (5.99) примет вид

(5.122)

Подставляя соотношение (5.122) в уравнение (5.98), относительно δ(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

(5.123)

Отметим, что обыкновенные дифференциальные уравнения относительно δ(х) в любом приближении отличаются друг от друга лишь числовым коэффициентом (см. уравнения (5.104), (5.116), (5.120), (5.123)), что значительно упрощает процесс получения их решений.

Интегрируя уравнение (5.123), при начальном условии δ(0) = 0 находим

(5.124)

Соотношения (5.122), (5.124) представляют решение задачи (5.83) – (5.88) в четвертом приближении. Результаты расчетов безразмерных скоростей по формуле (5.122) (табл. 5.1) показывают, что расхождение с точным решением (см. табл. 7.1 на с. 131 из [22]) не превышает 0,01%. Сравнение результатов расчетов безразмерных скоростей в первом и четвертом приближениях дано на рис. 5.26.

Таблица 5.1

Результаты расчетов безразмерных скоростей

η

1

2

3

4

5

6

7

υx/υ – по формуле (5.122)

0,3312

0,6312

0,8444

0,9539

0,9918

0,9994

0,99999

υx/υ – точное

решение

0,3298

0,6298

0,8461

0,9555

0,9916

0,9989

0,99992

По известной толщине пограничного слоя можно найти формулу для касательного напряжения трения на поверхности пластины и таким образом оценить сопротивление, оказываемое твердой поверхностью движущейся жидкости при ламинарном режиме. Подставляя соотношение (5.122) в формулу закона Ньютона для касательного напряжения, находим

После подстановки в последнее соотношение формулы для толщины динамического пограничного слоя (5.124) получаем

Распределение безразмерных скоростей υx/υ в динамическом пограничном слое

Рис. 5.26. Распределение безразмерных скоростей υx/υ в динамическом пограничном слое:

  • 1 – по формуле (5.101) (первое приближение);
  • 2 – по формуле (5.122) (четвертое приближение)

Отличие коэффициента 0,331 от точного его значения 0,332 [22] составляет 0,1%. Отметим, что в первом приближении этот коэффициент равен 0,323 (отличие от точного около 3%).

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы