О переходных процессах, при макроскопическом рассмотрении которых не выполняются законы коммутации. Обобщенные законы коммутации
На практике встречаются схемы, переходные процессы в которых состоят как бы из двух стадий резко различной продолжительности. Длительность первой стадии в тысячи и миллионы раз короче второй. В течение первой стадии токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах изменяются настолько быстро (почти скачкообразно), что если считать t = 0_ началом, a t = 0+ — окончанием первой стадии, то создается впечатление, что при переходе от? = 0_к? = 0+, т. е. за время, например, в несколько микросекунд, как бы нарушаются законы коммутации.
Для иллюстрации нарушения второго закона коммутации рассмотрим переходный процесс в схеме (рис. 8.26) с начальными условиями ucl(0J =Е, иС2{0_) = 0.
Рис. 8.26
Сначала при замыкании ключа через конденсаторы возникают очень большие броски токов (ограничиваемые хотя и очень малыми, но все же конечными сопротивлениями соединительных проводов Rnp), прохождение которых приводит почти к мгновенному уравниванию напряжения на конденсаторах до значения, меньшего Е (строго говоря, если учесть сопротивление Кпр, то для первой стадии переходного процесса в схеме на рис. 8.26 характеристическое уравнение будет уравнением второго порядка, один корень которого при Япр —» 0 стремится к бесконечности).
После этого начинается вторая стадия, когда параллельно соединенные конденсаторы относительно медленно заряжаются до напряжения Е.
Длительность переходного процесса практически определяется второй стадией.
В качестве примера нарушения первого закона коммутации рассмотрим переходный процесс в схеме на рис. 8.17. Быстрое размыкание ключа в первой ветви, например за lCh5 с, приводит к тому, что сопротивление этой ветви быстро увеличивается, ток ?х почти скачком уменьшается до нуля и почти скачком изменяются токи в остальных ветвях.
Таким образом, за очень малое время порядка 10~5 с (от t = 0_ до t = 0+) токи резко изменяются, a i(0+) Ф i(0J; i2(0+) Ф i2(0J.
Нарушение законов коммутации в формулировке параграфов 8.5, 8.6 при переходе от t = 0_ до t = 0+ объясняется тем, что процессы в быстро протекающей первой стадии и их зависимость от времени не рассматриваются. Если же первую стадию не исключать при рассмотрении, то ранее исследуемые законы коммутации выполняются.
Для того чтобы можно было рассчитать переходные процессы сразу во второй стадии, как бы перешагнув через первую, надо, во-первых, примириться с тем, что при переходе от t = 0_ до t = 0+ в рассматриваемых задачах законы коммутации в том виде, как они сформулированы в параграфах 8.5, 8.6, не будут выполнены; во-вторых, принять исходные положения, которые позволяют определить значения токов через индуктивности и напряжений на конденсаторах (а если потребуется, то и их производные) при t = 0+ через значения токов и напряжений при t = 0. Таких положений (правил) два. При решении задач рассматриваемого типа они заменяют законы (правила) коммутации, о которых шла речь в параграфах 8.5, 8.6, и потому их называют иногда обобщенными законами (правилами) коммутации.
1. При переходе от t = 0_ до t = 0+ суммарное потокосцепление ^|/ каждого замкнутого контура послекоммутационной схемы не должно претерпевать скачкообразных изменений. Это положение следует из второго закона Кирхгофа и доказывается от противного: если допустить, что ?|/ некоторого контура изменится скачком, то в уравнении для этого контура, составленном по второму закону Кирхгофа, появилось бы слагаемое A?i|//At|At. и второй закон Кирхгофа не был бы выполнен.
Суммарное потокосцепление ?|/ представляет собой алгебраическую сумму произведений токов ветвей этого контура на индуктивности их индуктивных элементов (в общем случае с учетом магнитной связи с другими ветвями). Со знаком «плюс» в эту сумму входят слагаемые ветвей, направление токов в которых совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура.
2. При переходе от t = 0_ до t = 0+ суммарный заряд на обкладках конденсаторов, присоединенных к любому узлу послекоммутационной схемы, должен остаться неизменным. Если этого не выполнить, то суммарный ток, проходящий через конденсаторы, был бы бесконечно большим (стремился бы к бесконечности), бесконечно большими были бы токи и через другие ветви, присоединенные к этому узлу. Это также привело бы к нарушению второго закона Кирхгофа.
Пример 85
В схеме на рис. 8.17 до размыкания ключа был установившийся режим. Определить ток в цепи после коммутации.
Решение. Послекоммутационная схема (см. рис. 8.17) имеет всего один контур. По первому закону (правилу) коммутации
Закон изменения тока при t > 0+, если считать, что до коммутации был установившийся режим,
На рис. 8.27, а, б показан характер изменения токов для схемы на рис. 8.17 в долях от E/R при L = 3L2 (12 в правой ветви).
Рис. 8.27
Пример 86
Определить закон изменения напряжений иС1, и иС2 при замыкании ключа в схеме на рис. 8.26.
Решение. В схеме известны ucl(0_) = Е; 1^(0+) = 0. По второму закону (правилу) коммутации составляем одно уравнение (т. е. столько, сколько необходимо составить уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхгофа):
отсюда
ПриГ>0+ ис-uCnp + ис св = Е + АеР1. ОпределимЛ: npHt = 0uc(0+) =Е + А и
Характер изменения ucl и uC2 показан на рис. 8.27, в, г.
В заключение обратим внимание на то, что, допустив при переходе OTt = 0_Kt = 0+ скачкообразное изменение токов через индуктивный элемент и скачкообразное изменение напряжений на конденсаторах, мы тем самым допускаем скачкообразное изменение энергии магнитного поля индуктивных элементов и энергии электрического поля конденсаторов.
Суммарная энергия электрического и магнитного полей при t = 0+ всегда меньше суммарной энергии при t = 0_, так как часть запасенной энергии расходуется на тепловые потери в резисторах, искру при коммутации, электромагнитное излучение в окружающее пространство.
Прежде чем перейти к изучению основ второго метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — операторного метода, вспомним некоторые известные положения.
