Средние скорости

Пусть dN есть число молекул в объеме dV. Найдем среднее значение v модуля v вектора скорости молекул. Для этого следует сложить модули скоростей всех молекул в объеме dV и полученную сумму разделить на их число:

где индекс i обозначает номера молекул, находящихся в объеме dV.

Так как объем d3v в пространстве скоростей достаточно мал, для тех молекул, скорости ?, которых заканчиваются в этом объеме (рис. 3.4), можно положить

где v - произвольный вектор, заканчивающийся в объеме d3v. Поэтому сумма модулей скоростей этих молекул будет равна произведению модуля г скорости одной молекулы на их число dN':

Сумма модулей скоростей всех молекул в объеме dV будет равна интегралу по пространству скоростей от этого выражения:

Подстановка этой суммы в формулу (3.12) с учетом (3.2) дает

Аналогичным образом можно вывести формулу для среднего значения ^ произвольной функции <р( v) аргумента г":

Например, для средних значений г7 и вектора скорости и квадрата его модуля будем иметь формулы

В общем случае вектор и средней скорости молекул не равен нулю и является функцией от времени и радиус-вектора. Это означает, что в данный момент времени в данном месте пространства вся масса газа перемещается как целое в определенном направлении. Образно выражаясь, дует ветер. При решении некоторых задач удобно считать, что молекулы газа участвуют сразу в двух движениях: хаотическом тепловом и направленном, которое характеризуется вектором средней скорости и.

Заметим, что интегрирование в формулах (3.13) - (3.15) производится по пространству скоростей при заданных значениях I и г. Поэтому полученные после интегрирования выражения в общем случае будут представлять собой некоторые функции от времени и координат.

Величина

называется средней квадратичной скоростью молекулы.

Давление газа

Для того чтобы найти давление Р в некоторой точке заполненного газом пространства, необходимо поместить в эту точку небольшую плоскую пластинку, вычислить или измерить силу F, с которой газ действует на одну из ее сторон, а затем разделить эту силу на площадь пластинки

5:

В общем случае давление в газе является функцией от времени и координат. Например, всем хорошо известно, что давление воздуха в земной атмосфере изменяется со временем и зависит от высоты точки, где оно измеряется, над поверхностью Земли.

Выражение для давления можно получить, исходя из некоторых упрощенных представлений и приближенных формул. Сила, с которой газ давит на пластинку, есть результат многочисленных ударов молекул о пластинку. Величина этой силы определяется импульсом, который приобретает пластинка после удара молекулы. Пусть р есть импульс молекулы, подлетающей к пластинке, а р2 - импульс молекулы после удара (рис. 3.5).

Удар молекулы о пластинку

Рис. 3.5. Удар молекулы о пластинку

Закон сохранения импульса системы, состоящей из молекулы и пластинки, выражается равенством

где Ар - импульс, приобретенный пластинкой. Импульсы молекулы и пластинки, удовлетворяющие этому равенству, показаны на рис. З.б.

К закону сохранения импульса молекулы и пластинки

Рис. 3.6. К закону сохранения импульса молекулы и пластинки

Если импульс pi направлен перпендикулярно к пластинке, то после упругого удара молекулы о пластинку последняя получит импульс

где т - масса молекулы, v - ее скорость.

Силу, с которой молекулы давят на пластинку, найдем по закону

где dp - импульс, приобретенный пластинкой от молекул, которые падали на нее в течение времени dt. Импульс dp приближенно равен произведению среднего значения импульса, полученного пластинкой после удара одной молекулы, на число ударов за время dt.

Будем считать, что каждая молекула передает пластинке импульс в среднем равный

где (v) - средняя квадратичная скорость молекулы, определяемая формулой (3.16).

К вычислению числа молекул, падающих на стенку за время dt

Рис. 3.7. К вычислению числа молекул, падающих на стенку за время dt

Число ударов молекул о поверхность прямоугольной пластинки за время dt можно оценить следующим образом. Направим ось х перпендикулярно к пластинке и построим у ее поверхности воображаемый прямоугольный параллелепипед, длина параллельного оси х ребра которого равна (v) dt (рис. 3.7). Все молекулы в объеме этого параллелепипеда разделим на три потока, в каждом из которых молекулы движутся преимущественно вдоль одной из осей координат. Если молекулы распределены но скоростям изотропно, то количества молекул в этих потоках

будет примерно одинаковы. Так как всего внутри параллелепипеда имеется п S (v) dt молекул, только треть от этого числа молекул будет двигаться вдоль оси х. Причем половина этих молекул будет двигаться по направлению к пластинке, а половина - от нее. За время dt молекула в среднем пролетает путь (v) dt. Поэтому все молекулы внутри параллелепипеда, движущиеся к пластинке, за время dt упадут на нее. Их число равно

Умножив импульс, переданный пластинке одной молекулой, на число ударов (3.20) молекул о пластинку, найдем импульс

полученный пластинкой за время dt. Разделив это выражение на dt и на площадь S поверхности пластинки, придем к формуле

Это выражение представляет редкий случай, когда перемножение двух приближенных выражений дает точный результат. С учетом определения (3.16) можно записать

Согласно этой формуле давление газа тем больше, чем выше концентрация молекул и чем быстрее они движутся.

Давление есть объективная характеристика состояния газа. Казалось бы, давление не должно зависеть от свойств поверхности, при помощи которой оно измеряется. Отчасти это так и есть. Если поверхность не поглощает падающие на нее молекулы, то формула (3.22) справедлива даже в том случае, когда эта поверхность не является плоской и идеально гладкой.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >