Вывод формулы для давления газа
Зная функцию распределения f(v) молекул газа по скоростям, можно вычислить давление газа. Для этого сначала необходимо найти силу, с которой газ давит на поверхность пластинки, расположенной в том месте, где требуется знать давление.
Рис. 3.12.
Удар молекулы о стенку
Выберем декартову систему координат так, чтобы ось х была перпендикулярна к плоскости пластинки (рис. 3.12). Рассмотрим молекулы газа, падающие на левую сторону этой пластинки, которую будем считать абсолютно гладкой, а удар каждой молекулы о пластинку - абсолютно упругим. Пусть pi есть импульс одной из молекул, падающих на пластинку, a pi ~ импульс этой молекулы после удара о пластинку. Отсутствие шероховатостей на поверхности пластинки
приводит к тому, что возникающая при ударе молекулы о пластинку сила взаимодействия перпендикулярна к ее поверхности, т.е. нет силы трения. По этой причине касательная к поверхности пластинки составляющая вектора импульса молекулы сохраняется, т.е. имеет одно и то же значение до и после удара:
По определению при абсолютно упругом ударе сохраняется кинетическая энергия соударяющихся тел. Так как пластинка неподвижна до и после удара, кинетическая энергия молекулы до удара равна ее энергии после удара:
Это равенство можно записать следующим образом:
Отсюда с учетом (3.50) следует, что
Так как после удара изменяется направление движения молекулы, проекция на ось х ее импульса должна изменить знак. Поэтому будем иметь
Запишем закон сохранения импульса для системы, состоящей из падающей на пластинку молекулы и самой пластинки:
где Др - импульс пластинки после удара. В силу равенства (3.50) импульс
полученный пластинкой от молекулы, перпендикулярен к поверхности пластинки (Дрг = 0)ив выбранной системе координат имеет только одну отличную от нуля составляющую Дрг, которая с учетом (3.51) равна
где т - масса молекулы, a vx - ее скорость до удара о пластинку; vx > 0.
Рассмотрим однородный поток одинаковых молекул, летящих к пластинке с одной и той же скоростью v (рис. 3.13). Концентрацию п' молекул в таком потоке найдем по формуле (3.2), если вместо dN подставим в нее выражение (3.8). В результате получим:
Составим выражение для числа молекул, падающих на пластинку за время от некоторого момента t до момента t + dt. Для этого построим воображаемый наклонный параллелепипед, одно основание которого совпадает с поверхностью пластинки, а четыре ребра параллельны вектору скорости v и имеют длину vdt. Так как за время di каждая молекула преодолевает путь v dt, все молекулы, заполнявшие объем параллелепипеда в момент времени t, к моменту времени t + dt упадут на пластинку. Согласно формуле (3.3) их число равно произведению концентрации п‘ на объем параллелепипеда, который в свою очередь равен произведению площади основания 5 на высоту, т.е. его объем равен S v dt cos 9, где в - угол, образуемый вектором скорости с осью х. Так как v cos 0 = vx, для числа молекул, падающих на пластинку за время dt со скоростью V, будем иметь следующее выражение:
Каждая из этих молекул сообщает пластинке импульс (3.53). Поэтому за время dt от таких молекул пластинка получит импульс
Эта формула справедлива только при условии, что молекулы не ’’мешают” друг другу ударяться о пластинку. Такое возможно, если молекулы не взаимодействуют между собой, т.е. образуют идеальный газ.
Рис. 3.13.
Однородный поток молекул
По закону Ньютона сила, действующая на пластинку,
Используя эту формулу, найдем давление Р'. оказываемое на пластинку однородным потоком молекул:
Если на пластинку падают молекулы, имеющие различные по величине и направлению скорости v} то для того, чтобы найти давление всех молекул на пластинку, необходимо мысленно разделить их на однородные потоки, а затем вычислить и сложить оказываемые этими потоками на пластинку давления. С учетом формул (3.54) и (3.56) будем иметь
где интегрирование по vr следует производить в пределах от 0 до + оо, так как для падающих на пластинку молекул vr > 0. Вследствие того, что удары молекул о пластинку являются абсолютно упругими, число молекул, падающих на пластинку со скоростью vx, равно числу молекул, летящих от пластинки со скоростью — vx. Это утверждение выражается равенством
С учетом этого равенства формуле (3.57) можно придать вид или
где интегрирование производится по всем значениям координат вектора скорости. Согласно этой формуле в общем случае давление зависит от времени t и радиус-вектора г точки в пространстве.
Предположим, что распределение молекул по скоростям является изотропным, т.е. функция распределения зависит только от модуля вектора скорости и не зависит от его направления. Так как при этом все направления движения молекул в пространстве равноценны, справедливы равенства
в которых интегрирование производится по всему пространству скоростей. Сумма этих интегралов с одной стороны равна
а с другой - интегралу
который, в свою очередь, согласно формуле (3.15) равен п v2. В результате будем иметь
При помощи этой формулы выражению (3.59) можно придать вид
Таким образом, пришли к формуле (3.22), которую ранее получили путем приближенных вычислений.
