Средняя длина свободного пробега молекулы
Молекулы газа находятся в непрерывном движении. Каждая молекула движется прямолинейно и равномерно до тех пор, пока не столкнется с какой-нибудь другой молекулой. В результате столкновения молекула резко изменяет направление своего движения, после чего опять движется с постоянной скоростью до следующего столкновения. Поэтому траектория молекулы, совершающей хаотическое тепловое движение среди других молекул газа, представляет собой ломаную прямую линию, т.е. непрерывную линию, состоящую из отрезков прямых. Такие случайные блуждания молекулы называются диффузией, когда молекулу окружают молекулы другого сорта, или самодпффузией, когда молекула движется среди подобных ей молекул.
Приближенно молекулы газа можно рассматривать как маленькие упругие шарики диаметра d. Вычислим при помощи этой модели среднее время между двумя последовательными соударениями какой-либо одной молекулы с другими молекулами газа. Столкновение выделенной молекулы с другой молекулой газа произойдет только в том случае, если центр последней окажется в момент сближения этих молекул на расстоянии от линии движения первой молекулы меньшем, чем диаметр d молекул (рис. 5.1). Поэтому центры всех молекул, встречающихся на пути выделенной молекулы за некоторое время At и вынуждающих ее изменить направление своего движения, оказываются в подходящий момент времени внутри ломаного цилиндра радиуса d, осью которого служит траектория рассматриваемой молекулы (рис. 5.2). Разумеется, эта модель имеет смысл только в том случае, когда средняя длина Л свободного пробега молекулы много больше, чем ее диаметр: Л d.
Рис. 5.1. Столкновения молекул в газе
Рис. 5.2.
К вычислению средней длины свободного пробега молекул в газе
Так как молекулы, с которыми сталкивается выделенная молекула, не являются неподвижными, в качестве средней скорости молекулы следует взять среднюю скорость ее движения относительно других молекул, а не относительно стенок сосуда. По определению относительная скорость есть разность скоростей двух молекул:
Возведем это равенство в квадрат:
В силу свойства (2.51) среднее значение суммы равно сумме средних значений слагаемых величин. Поэтому будем иметь
Среднее значение квадрата скорости для всех молекул одно и то же, так как молекулы тождественны и имеют одинаковую массу:
Скорости V и 02 двух молекул являются статистически независимыми случайными величинами. Поэтому согласно теореме (2.26) среднее значение их произведения равно произведению средних эначениий этих величин:
Для газа в состоянии термодинамического равновесия средняя скорость молекулы равна нулю:
Таким образом, будем иметь
Поэтому в качестве средней скорости относительного движения молекулы можно взять
За время At рассматриваемая молекула пройдет путь
На этом пути она столкнется со всеми молекулами, оказавшимися внутри ломаного цилиндра. Число этих молекул равно произведению концентрации молекул на объем цилиндра, т.е. птг d2 I или rial, где величина
называется эффективными сечением молекулы. Среднее время г между двумя последовательными столкновениями выделенной молекулы с другими молекулами найдем, разделив время At на число столкновений:
После элементарных преобразований придем к формуле
Средняя длина Л свободного пробега молекулы равна произведению средней скорости на среднее время между столкновениями:
Величина I/, обратная времени г, есть среднее число столкновений одной из молекул газа с другими молекулами за единицу времени:
Отсюда найдем, что
Произведем теперь оценки размеров молекул, средней скорости их теплового движения и длины свободного пробега молекулы. Предполагая, что в жидкостях молекулы располагаются почти вплотную друг к другу, объем V0 одной молекулы можно найти, разделив объем VKM киломоля какого-либо вещества в жидком состоянии на число молекул в киломоле, т.е. на число Авогадро ЛГд:
Объем одного киломоля жидкости равен отношению его массы к плотности:
где // - молярная масса, д - плотность жидкости. Диаметр молекулы можно оценить по формуле
или
Расчеты, произведенные по этой формуле для воды (ц = 18 кг/кмолъ, д = 103 хг/лг*), дают значение d « 3 • 10" 10 м.
Сочетание формул (3.44), (4.5) и (4.14) приводит к следующему выражению для средней квадратичной скорости молекулы:
Из этой формулы следует, что молекула кислорода Ог, например, молярная масса которого /i = 32 кг/кмоль, при температуре Т = 273 К имеет среднюю квадратичную скорость (v) « 500 м/с.
Вычислим среднюю длину свободного пробега молекулы при нормальных условиях (Р = 1 атпм = 105 Па, Т = 273 К). Формула
при этих условиях дает значение концентрации п % 3 • 1025 ж-3. Положим диаметр молекулы равным d = 2-10“ 10 м. Для этих значений п и d расчет по формуле (5.8) приводит к значению средней длины свободного пробега А « 2 • 10”7 м. При этом по формуле
найдем, что, двигаясь со средней скоростью (v) « 500 м/с, молекула за одну секунду испытывает 2,5 • 109 столкновений с другими молекулами
газа.
