Приложения 1 Основные уравнения статических электрического и магнитного полей

Ко времени создания Дж. К. Максвеллом теории электромагнитного поля были известны законы для статических полей, т.е. полей, не изменяющихся во времени. Основные из них следующие.

Равенство Гаусса

Если в некотором объеме пространства V имеется заряд Q, то

где интеграл взят по поверхности S, ограничивающей объем V. Выражение (П.1.1) есть равенство Гаусса в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме записи поделим левую и правую части равенства на Г и найдем предел при стремлении Г к О

Выражение в левой части равенства называется дивергенцией вектора Ё

а Нш^г = Рз — объемная плотность электрического заряда.

Отсюда получаем равенство Гаусса в дифференциальной форме где р t и Q связаны соотношением q = J р3d V.

V

Теорема о циркуляции вектора Н

При протекании в проводнике тока I

где интеграл берется по заданному контуру, охватывающему проводник. Дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции может быть получена путем деления равенства (П.1.3) на площадь S, ограниченную контуром /, и перехода к пределу при 5* —> 0:

Выражение в левой части называется ротором вектора Н, а в правой части при стремлении S —» 0 получаем плотность тока. Таким образом, дифференциальная форма записи теоремы о циркуляции вектора Н имеет следующий вид:

Плотность / связана с током / соотношением

J пр пр

Запишем полную систему уравнений для статических полей.

Две идеи Максвелла, которые привели к созданию теории электромагнитного поля

Вихревое электрическое поле

В 1831 г. М. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, согласно которому в замкнутом контуре из проводника возникает электродвижущая сила ? при изменении во времени магнитного потока Ф, пронизывающего плоскость контура:

Дж. К. Максвелл предположил, что электрический ток в проводнике, наблюдавшийся Фарадеем, обусловлен появлением в пространстве замкнутых силовых линий напряженности электрического поля Ё.

Поскольку ЭДС ? и напряженность Е связаны соотношением

где интеграл берется по замкнутому контуру / (наличие проводника необязательно), а магнитный поток

где б1 — площадь поверхности, ограниченной линией /, то

Заменяя интеграл по линии / на интеграл по поверхности S с помощью теоремы Стокса:

получим

Поскольку поверхность S — произвольная, то полученное соотношение выполняется при условии

Таким образом, если источниками статических электрических полей являются заряды, в соответствии с уравнением

то источниками переменного электрического поля могут быть силовые линии магнитного поля, если магнитная индукция В зависит от времени. При этом электрическое поле получается вихревым, т.е. силовые линии Е замкнуты.

Ток смещения

Если электрическая цепь замкнута и содержит источник постоянного напряжения, то в цепи существует постоянный ток и линии плотности тока 7 замкнуты, что можно выразить уравнением

При замене источника постоянного напряжения на источник переменного напряжения и включении последовательно в контур конденсатора в цепи существует переменный ток

где q — заряд на обкладках конденсатора.

Поскольку

а

где р( — объемная плотность заряда, то

Заменив поверхностный интеграл объемным и используя теорему Гаусса

получим

Это равенство при произвольном объеме V выполняется только, когда

Известно, что divE = — , отсюда divyn = -div-^^- и ? 1 d t

Сравнивая полученное соотношение с (П.2.1), замечаем, что линии плотности переменного тока оказываются замкнутыми, если к плотности тока проводимости j , существующего там, где имеются подвижные заряды, добавить плотность тока смещения

который имеется там, где нет зарядов, но есть изменяющаяся во времени напряженность электрического поля Е.

Таким образом, идея Максвелла состояла в том, что в пространстве, где отсутствуют движущиеся заряды, но имеется переменное поле Е, возникает ток смещения, вокруг которого, так же как и вокруг тока проводимости, образуется магнитное поле.

В результате в случае переменных полей первое уравнение Максвелла может быть записано в виде

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >