Принцип максимума для задач со связями в форме дифференциальных и в форме интегральных уравнений

Принцип максимума Понтрягина.

Одним из важнейших типов вариационных задач является задача управнения объектом, характеризующимся обыкновенными дифференциальными уравнениями. Она имеет вид

при условиях

Функции /0, fp F непрерывны и непрерывно дифференцируемы по х, множество Vu замкнуто и ограничено,/0 и f- непрерывны по и и ограничены на Vu для всех х, t.

Выпишем слагаемые подынтегрального выражения функционала Лагранжа:

слагаемые Rj имеют вид (4.37) для; = 1, ..., т, а слагаемое, соответствующее условию (4.40),

Так как вектор параметров z отсутствует, условия оптимальности вытекают из (4.30), (4.31) при подстановке туда функции

К рандомизированным переменным относятся управляющие воздействия и(0, так как они не вошли в условие (4.40) и ни в одну из левых частей уравнений (4.39). Максимум R по и эквивалентен требованию максимума суммы тех слагаемых в (4.41), в которые входят управления, так что условия (4.30) запишутся как

Здесь для краткости записи константа Х0 обозначена как |/0. Она равна нулю для вырожденных и единице для невырожденных решений. Сумму, стоящую в правой части условий максимума,

называют функцией Гамильтона.

Условия локальной неулучшаемости R по х с учетом отсутствия ограничений на х примут форму условий стационарности:

или

Условия (4.44) следует из того, что за пределами интервала управления (при t > Т) |/(?) = 0, а в момент t = Т она меняется скачком и ее про-

8F

изводная равна -А,т+1-5(?-Г). Чтобы стать при t > Т равной нулю,

dXj

функция fj должна при t = Т удовлетворять условиям трансверсальности (4.44). При отсутствии условий (4.40) Хт+1, а значит, и |/-(Т) равны нулю.

Отметим, что слагаемое — ^x;0v|/;(0) никак не повлияло на условия

Т j

оптимальности задачи. Однако если в задаче х;0 или Т не фиксированы, а являются искомыми параметрами, то потребуется использовать условия (4.32) и это слагаемое войдет в систему условий оптимальности.

В той же последовательности могут быть получены условия оптимальности для других сочетаний критерия и ограничений.

Принцип максимума для задачи со связями в форме интегральных уравнений.

Для задачи

обобщенная функция Лагранжа, составленная с использованием табл. 4.1 и 4.2, имеет вид

к переменным первой группы относятся u(t). Условия оптимальности примут форму

В частности, в задаче управления линейным объектом с импульсной переходной функцией k(t) связь между управляющим воздействием и переменной состояния х запишется в виде

Условия оптимальности (4.46) перепишутся как

Задачи с условиями в форме неравенств и критерием типа максимина

Некоторые из условий задачи могут иметь форму неравенств. Для получения условий оптимальности по изложенной выше схеме эти неравенства могут быть переписаны в форме равенств с добавлением новых искусственно вводимых переменных. Например, неравенство

с добавлением неотрицательной переменной z(t) может быть переписано как равенство

Соответствующее слагаемое в функции R имеет вид

Переменная z(t) относится ко второй группе и не входит в другие слагаемые функции R, кроме RCB v, поэтому условия локальной неулучшаемости R по z с учетом того, что допустимая вариация 8z > 0, приводят к неравенствам

При этом A(t) = 0, когда z(t) > 0, т. е. когда/(у, 0 > 0 и A(t) > О, когда /(у, 0 = 0. Мы имеем здесь полный аналог условий дополняющий нежесткости в математическом программировании.

Аналогичный прием позволяет получить условия оптимальности и для критерия типа максимина

который может быть при введении добавочного параметра а, не зависящего от t, переписан как

с добавлением к условиям задачи неравенства, справедливого при любом значении t е [0,Г]:

Критерию (4.50) и условию (4.51) в функции R соответствует слагаемое

в котором, как и для неравенства (4.48), {t) > 0, а

Здесь Х0 = 1 для невырожденного и Х0 = 0 для вырожденного решения. Так как параметр а не входит ни в какие другие слагаемые R, кроме R, и на этот параметр не наложено ограничений, то из условия стационарности по а функционала Лагранжа L следует

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >