Передаточная функция цифрового фильтра

Известно, что аналоговые фильтры реализуются на основе интеграторов, сумматоров и элементов, задающих значения масштабных коэффициентов. Переход к ЦФ производится путем замены интегратора элементом задержки. Такой элемент задержки можно построить, например, на основе регистра сдвига, в котором выбранное значение входной функции сдвигается с частотой выборки/0. В простейшем случае задержка осуществляется на один временной интервал Т0. Пример такого ЦФ первого порядка представлен на рис. 11.70.

Рассмотрим его работу во временной области. Пусть задана Временная последовательность {x(t,)}, которая служит в качестве входного сигнала для устройства, показанного на рис. 11.70. Найдем соответствующую выходную последовательность {y(tf)}. В момент времени tj на входе устройства памяти находится числовое значение х(ф — C0-y(t;). Со сдвигом на один такт оно появляется на выходе устройства памяти. При этом для выходной последовательности имеем соотношение

Пример цифрового фильтра первого порядка

Рис. 11.70. Пример цифрового фильтра первого порядка

Это дифференциальное уравнение подобно дифференциальному уравнению для аналоговой системы. Задавая начальное значение у (t0), его можно использовать в качестве рекуррентной формулы для вычисления выходной последовательности. В качестве примера выберем у (t0) = = 0 и найдем переходную характеристику для С0 = -0,75. Она приведена на рис. 11.71. Понятно (из анализа переходной характеристики), что схема является фильтром нижних частот.

Переходная характеристика цифрового фильтра рис. 11.94 для С = -0,75 при переходе входного сигнала из 0 в 1

Рис. 11.71. Переходная характеристика цифрового фильтра рис. 11.94 для С0 = -0,75 при переходе входного сигнала из 0 в 1

Для исследования частотной характеристики на вход подают синусоидальную последовательность x(tf) = x0sin(wt;). Если система линейна, на выходе также возникнет синусоида. Отношение амплитуд, как и в аналоговых фильтрах, равно значению передаточной функции. Линейность ЦФ следует из линейности дифференциального уравнения. Таким образом, согласно формуле (11.8), фильтр на рис. 11.70 линеен.

Передаточная функция может быть получена, как и в случае аналогового фильтра, расчетом с использованием комплексных переменных. Найдем частотную характеристику элемента задержки. Для гармонического входного сигнала

получается гармонический выходной сигнал

и с учетом joj = р передаточная функция имеет вид

Эта функция периодическая с периодом со0 = 2п/Т0 = 2nf0. Здесь/0 — тактовая частота. Введем обозначение

и получим из формулы (11.9) передаточную функцию элемента задержки на один такт в виде

Известно, что связь передаточной функции А(р), входного сигнала, имеющего произвольную зависимость от времени и сигнала на выходе четырехполюсника с помощью преобразования Лапласа может быть представлена в виде

Это соотношение справедливо и для цифровых систем. Для числовых последовательностей его можно упростить с помощью преобразования передаточной функции (11.11):

Здесь

есть Z-преобразование входной последовательности. Выходная последовательность получается с помощью соответствующего обратного преобразования. Функция A(z) называется цифровой передаточной функцией.

Теперь, используя выражение (11.10), можно непосредственно определить передаточную функцию ЦФ, показанного на рис. 11.70. Из соотношения

получаем

Для определения частотной характеристики А (/со) подставим в формулу (11.12) z = еЛо7о, в результате получим:

Функция является периодической с периодом 2nf0. Это свойство — общее для всех ЦФ. Для модуля частотной характеристики имеем:

График этой функции приведен на рис. 11.72. Видно, что эта АЧХ в области 0 < ооТ0 < п , т.е. 0 0, имеет вид характеристики фильтра нижних частот как и ожидалось, исходя из переходной характеристики на рис. 11.71.

На основании теоремы о дискретизация для дискретной системы задержки, работающей на частоте/0, частота синусоидальной последовательности {x(t,)> выбирается не больше чем 1/2-/0,. В области частот / > l/2/o АЧХ устройства уже не имеет вида, присущего фильтру. Если все же желательно использовать такое устройство необходимо заменить цифровой элемент задержки аналоговым элементом задержки (например, линией задержки или фазовым фильтром).

АЧХ цифрового фильтра для С = -0,75

Рис. 7 7.72. АЧХ цифрового фильтра для С0 = -0,75

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >