График дробно-линейной функции

График обратной пропорциональности

На рисунке 41 построен график функции у = Вспоминая построит

ение частного (см. рис. 7), легко восстановить шаги построения графика данной функции. Передвинем точку ?2(0,1) на новое место и обозначим

её через .4(0, а). В результате получаем график функции у = — и возмож-

х

ность исследовать эту функцию в зависимости от параметра а.

Рис. 41.

Откройте новое окно, на новом чертеже введите ползунок для параметра а и строкой ввода постройте график функции у = —. Меняя с помо-

х

щью ползунка значение параметра а, можно также исследовать эту функцию в зависимости от параметра.

Различные способы построения графика дробно-линейной функции

Мы рассмотрим три способа вычерчивания графика дробно-линейной функции: с помощью геометрического моделирования операций над числами, с помощью преобразований графика обратной пропорциональности, и как результат деления одной прямой на другую.

1. Построение графика дробно-линейной функции у = — '? с помо

ст + а

щью геометрического моделирования операций.

4- 3

Рассмотрим конкретную функцию у = - ’ .

njX ~ ?

Построение (рис. 42).

Рис. 42.

  • 1) Строим начало координат О, единичные точки ?(1,0), Е(0,1), текущую точку Х(я,0), проводим через неё вертикальную прямую и строим ключевые точки Л(0,а), ?(0,6), 67(с, 0), D(d, 0) (в нашем случае а = 2,
  • 2х + 3
  • 6 = 3, с = 3, d = — 2 и дробно-линейная функция имеет вид у = ——- ).

Зх -2

  • 2) Строим произведение ах = 2х. Для этого соединяем отрезком точки А и Еу а затем через точку X проводим прямую параллельно построенному отрезку АЕ. Точка пересечения построенной прямой с осью ординат является искомой точкой 67(0, ах) = 67(0,2х).
  • 3) К ах = 2х прибавляем 6 = 3. Для этого строим вектор ОБ и находим образ точки 67 при параллельном переносе на вектор ОБ. Получаем искомую точку G'(0, ах + я).
  • 4) Строим произведение сх = Зх. Для этого сначала «переносим» Х(х, 0) на ось ординат: соединяем отрезком единичные точки Е и ?ь через точку X проводим прямую параллельно построенному отрезку ЕЕ и отмечаем точку пересечения построенной прямой с осью ординат - подучаем точку F(О, х). Теперь точку С соединяем отрезком с единичной точкой Ei и через точку F проводим прямую параллельно отрезку Е. Отмечаем точку пересечения построенной прямой с осью абсцисс, получаем точку Я (Ат) = Я(3.т).
  • 5) К Ах = Зх прибавляем d = —2. Для этого строим вектор OD и находим образ точки Н при параллельном переносе на вектор OD. Получаем искомую точку Н'(сх -I- Я, 0) = Н'(3х - 2,0).
  • 6) Строим частное + ' ' С Для этого «числитель» G' соеди-

сх + d Зх -2

няем отрезком со "знаменателем,,Я/, а затем через точку Е проводим прямую параллельно построенному отрезку G'H'. Точка пересечения построенной прямой с осью ординат является искомой точкой К (б. ^ ^) •

7) Проектируем точку К на вертикальную прямую, проходящую через точку X, и получаем проекцию М (х, л ). Построение закончено.

Зх — 2/

Заставляем точку М оставлять след и задаём анимацию точки X.

2. Построение графика дробно-линейной функции у = ал + ^ с иомо-

сх + d

щью преобразований графика функции у = —.

Подготовительная часть.

где к = —, т = п — d

с ас. с

Построение (рис. 43).

  • 1) Строим ползунки для параметров а, 6, с, d.
  • 2) Вводим (строкой ввода) параметры к = —,т= — — ,1'1, п = —.

с ас с

Рис. 43.

3) Строим начало координат О, точки Аг(п,0), Е{О,1) и векторы NO, ОЕ.

I

4) Строкой ввода строим график функции f(x) = —. Отмечаем теку-

х

тую точку X, проводим через неё вертикальную прямую и отмечаем точку А пересечения этой прямой с графиком функции.

5) Выполняем преобразование параллельный перенос точки А на вектор N3, получаем точку А' (х, —-— ). Для проверки строкой ввода стро-

V х + п/

им график функции д(х) = —-— и убеждаемся, что точка А' лежит на

х + ТЬ

графике при любом х, а значит, оставляя след, при анимации точки X вычертит график этой функции. [1]

Получаем точку А"1х. ———). Чтобы убедиться в этом, строкой ввода V х + п/

строим график функции h(x) = ——— и видим, что точка А" лежит на

этом графике при любом х, а значит, оставляя след, при анимации точки X вычертит график этой функции.

7) Преобразованием строим график функции

р(х) = 1 + h(x) = 1 Н--——. Для этого находим образ точки А" при

х + п

параллельном переносе на вектор ОЕ. Получаем точку А"' [х, 1Н——— ).

V х + п/

Для проверки строкой ввода строим график функции q(x) = 1 4- - - и

убеждаемся, что точка А!" лежит на этом графике при любом х.

8) Преобразованием строим график функции

r(x) = kq(x) = А'^Н—j аналогично построениям 6). Получаем точку

С. Для проверки строкой ввода строим функцию fix) = (±I—Lk застав-

сх + а

ляем точку С оставлять следи задаём анимацию точки X. Наблюдаем как точка С, оставляя след, вычерчивает кривую f(x).

Ключевые параметры a, b, с, d можно изменять, пользуясь ползунками. В частности, полезно взять а = О, b = 1, с = 1, d = 0 и увидеть, что точка

Р вычерчивает график исходной функции f(x) = —.

3. Деление одной прямой на другую

В школьной математике гиперболой называют график функции у = —

х

(обратная пропорциональность). Затем, рассматривают дробно-линейную

функцию у = + ^ при условии с т^ 0, ad — be ^ 0 и график этой функ- сх + d

ции также называют гиперболой. (При ad - be = 0 получаем - = - = к,

с d

откуда а = ск, b = dk и у = ах ^ + ^ = к). Исчерпываются ли

сх + d сх + d

все гиперболы графиками дробно-линейных функций? Легко видеть, что график дробно-линейной функции можно представить, как результат де-

бб ления точек прямой у = ах + Ь на точки прямой у = сх + d. Смоделируем эту ситуацию на дисплее в среде GeoGebra.

Построение (рис. 44).

Рис. 44.

  • 1) Отмечаем на оси абсцисс точки Л и Б и строим прямые АС и BD.
  • 2) На оси абсцисс отмечаем току X и проводим через неё вертикальную прямую. Отмечаем точки G и F пересечения вертикальной прямой с перемножаемыми прямыми АС и BD.
  • 3) Через точки G и F проводим горизонтальные прямые и отмечаем точки II и I пересечения этих прямых с осью ординат.
  • 4) «Переносим» точку I на ось абсцисс. Для этого отмечаем единичные точки Е и Е на осях координат, соединяем их отрезком ЕЕ и через точку I проводим прямую параллельно отрезку ЕЕ. Отмечаем точку J пересечения построенной прямой с осью абсцисс.
  • 5) Строим частное от деления точки Я на точку J. Для этого соединяем их отрезком HJ и через единичную точку Е проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем искомую точку К пересечения построенной прямой с осью ординат.
  • 6) Точку К проектируем на вертикальную прямую, проходящую через точку X, и получаем проекцию L. Построение закончено.

Заставляем точку L оставлять следи задаём анимацию точки X. Точка L вычерчивает гиперболу.

I ^экспериментируйте, меняя положение перемножаемых прямых (перемещением точек Си Я).

Вопрос: всякая ли гипербола является графиком некоторой дробнолинейной функции?

ТЕОРЕМА 3. Пусть различные точки В и Сложат на оси абсцисс, а точка А не лежит на этой оси и треугольник АВС не прямоугольный. Тогда результатом деления прямой АВ на прямую АС является равнобочная гипербола, проходящая через точку В и имеющая вертикальную асимптоту, проходящую через точку С. При этом, гипербола не изменится, если точку А заменить любой точкой перпендикуляра к оси абсцисс, проходящего через эту точку.

Доказательство. Пусть даны вершины треугольника: A(a,d), B(b, 0), С(с, 0). Но условию, прямая АВ не параллельна оси ординат, поэтому

а ^ Ь. Уравнение прямой АВ ' ~ а = У ~ откуда -d{x - а) =

о — а 0 — d

(y—d)(b—a),—dx+ad= y(b—a) — bd+ad, у = ———х--. Аналогич-

а — о а — Ь

но а ± с и уравнение прямой АС: у = —— х--Результат деления

а — с а — с

прямой АВ на прямую АС есть кривая у = 7^—[а—После со-

(dx — cd)(a — b)

, (х- b)(aс)

крашения на d получаем уравнение у — ----—, не зависящее от

d. Это означает, что при замене точки А другой точкой А(а, t/i) с той же проекцией на ось абсцисс получаем ту же самую кривую.

Видим, что кривая проходит через точку В(Ь, 0) и имеет вертикальную асимптоту, проходящую через точку С(с, 0).

Осталось доказать, что линия, задаваемая уравнением (х-Ь)(а-с) - п

у = -;---f, есть гипербола. Для этого достаточно привести это

— с) (а — Ь)

уравнение к каноническому виду, совершая параллельный перенос осей координат, вращение вокруг начала координат и (если надо) перемену мест осей координат (отражение относительно биссектрисы 1-3 координатных углов).

Пусть М(х, у) — координаты точки М в системе координат до преобразования, а М(х у') — координаты точки М в преобразованной системе координат. Тогда формулы параллельного переноса на вектор

формулы поворота на угол а:

В частности, нужные нам формулы поворота на угол 45° имеют вид

Обозначим к = а ~ ^. Полученное уравнение примет вид у = к х^,

а - с х — с

откуда ху — су = кх — kb. В результате поворота осей на 45° получим уравнение -^(xi ~ У) • ^(xi + 2/i) “ c^(xi +2/0 = i “ Vi) ~ kb,

^(xj-yi)-c^-(xi +У)—к^ф(х —y) = fc&,xf-^-c>/2x, — 0/22/1 - k/2xi + k*2y — 2kb,

Выделим полные квадраты:

Применяя формулы параллельного переноса, приходим к уравнению

Из условия следует, что к(с - Ь) ^ 0 и если к(с - Ь) > 0, то существует действительное число т такое, что га2 = 2к(с - Ь). Но тогда уравнение

Хо Vo

принимает вид —*Чг = 1 — уравнение равнобочной гиперболы. Если

/7Г тг

же к{Ъ — о) < 0, то существует такое т, что 2к(с — Ь) = —т2 и уравнение

х2 у2

принимает вид--= 1. Меняя местами координатные оси по фор-

т* т

х2 у2

мулам хз = у2. Уз = #2, получаем уравнение того же вида = 1.

га т

Теорема доказана.

Итак, графики дробно-линейных функций не исчерпывают всех возможных гипербол.

  • [1] Преобразованием строим график функции тд(х) = ———. Для х + п этого через точку А! проводим вертикальную прямую, отмечаем точку пересечения В этой прямой с осью абсцисс и находим образ точки А' пригомотетии с центром в точке В и коэффициентом гомотетии, равным т.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >