Геометрическое моделирование арифметических операций над комплексными числами

Геометрическое сложение комплексных чисел

Построим чертеж, который убеждает нас, что геометрически комплексные числа как векторы можно складывать по известному «правилу параллелограмма».

Построение (рис. 108).

Рис. 108.

  • 1) Отмечаем точкой О начало координат.
  • 2) Выбираем клавишу «Комплексное число» и отмечаем точки z и z.
  • 3) Строкой ввода строим точку г2, изображающую сумму z + z.
  • 4) Строим векторы с началом в начале координат и концами в точках

г, Z и Z-2.

5) Рассматриваем векторы, изображающие комплексные числа 2 и zy и через конец каждого вектора проводим прямую, параллельную другому вектору. Убеждаемся, что построенные прямые пересекаются в точке

изображающей сумму z+z. Следовательно, комплексные числа, как векторы, складываются по «правилу параллелограмма».

Геометрическое умножение комплексных чисел

Реализуем умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.

Построение (рис. 109).

Рис. 109.

  • 1) Отмечаем точкой А первый сомножитель а.
  • 2) Строим второй сомножитель г = r(cosa + г sin а). Для этого отмечаем начало координат О, на положительной полуоси абсцисс отмечаем точку Я, соответствующую числу z = г, через точку Я проводим центральную окружность и отмечаем на ней точку Z.
  • 3) Для умножения модулей данных чисел awz строим центральную окружность, проходящую через точку А, и отмечаем точку С пересечения построенной окружности с положительной полуосью ординат.
  • 4) Перемножаем числа, соответствующие точкам С и Я, и получаем точку D. Через эту точку проводим окружность с центром в начале координат — на ней будет располагаться искомое произведение данных комплексных чисел.
  • 5) Строим сумму аргументов данных комплексных чисел. Для этого через точку А проводим луч с началом в начале координат и отмечаем точку F пересечения луча с окружностью, проходящей через точку Я. Затем соединяем отрезком точки F и Z, а через точку Я проводим прямую па-

раздельно построенному отрезку. Отмечаем точку Н пересечения построенной прямой с окружностью, проходящей через точку R (делаем невидимой обозначение второй точки пересечения, совпадающей с точкой R). Очевидно, аргумент комплексного числа, изображенного точкой //, равен сумме аргументов комплексных чисел, изображенных точками А и Z.

6) Проводим луч с началом в начале координат, проходящий через точку //, и отмечаем точку К пересечения построенного луча с центральной окружностью, проходящей через точку D. Точка К изображает искомое произведение az. Построение закончено.

Убедимся, что умножая в среде GeoGebra а на г, тоже получаем точку К. Для этого клавишей «Комплексное число» строим комплексные числа Zi, Z2 и с помощью строки ввода находим произведение командой z * z^. В результате получаем точку w. Затем точку z совмещаем с точкой А, а точку Z2 с точкой Z. Видим, что при этом точка w совпадает с точкой К.

Анимационный рисунок для деления комплексных чисел

Пусть комплексное число а = m (cosa 4- i sin а) изображено точкой А, а комплексное число b = r(cosj3 + i sin (3) изображено точкой В. Анимационный рисунок для деления числа а на число b представляет собой чертеж, который получается в результате геометрического построения известной

формулы: а : b = —(cos(cv — (3) + isin(a - /?)). г

Построение (рис. 110).

ПО

Рис. ПО.

  • 1) Отмечаем точки А и В (соответствующие числам а = r(cos a+i sin а) и b = г 1 (cos Р + г sin р)), отмечаем начало координат О (как точку пересечения осей) и проводим окружности с центром в начале координат, проходящие через точки А и В. Отмечаем точки Я(0,г) и #1(7*1,0) пересечений этих окружностей с осями координат.
  • 2) Находим частное г2 = г : г (см. построения рис. 6 главы 1) и получаем точку F(0,r2). Через точку F проводим окружность с центром в начале координат, на ней будет располагаться искомое частное а : Ь.
  • 3) Строим разность аргументов а—р. Для этого через точки Aw В проводим лучи с началом в начале координат и отмечаем точку G пересечения луча, проходящего через точку Ау с центральной окружностью, проходящей через точку R. Соединяем отрезком точки Gw #i,a затем через точку В проводим прямую параллельно построенному отрезку. Отмечаем точку К построенной прямой с окружностью, проходящую через точку R. Через точку К проводим луч с началом в начале координат и отмечаем точку М пересечения луча с окружностью, проходящей через точку F. Построение закончено. Точка М соответствует искомому частному а : Ь.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >