Построение отображений на комплексной плоскости, задаваемых многочленами с комплексными коэффициентами

Линейная функция на комплексной плоскости

Построим на комплексной плоскости образ окружности z = г, г е Я, при отображении f(z) = az + 6, где а и 6 — комплексные числа.

Построение (рис. 111).

1) Произведение az находим построениями рисунка 93, получим точку

Р.

2) Строим точку Ву изображающую комплексное число 6, и строим сумму az + 6 (по правилу параллелограмма). Получаем искомую точку F. Построение закончено.

Заставляем точку F оставлять след и задаём анимацию точки Z. Видим, как точка F вычерчивает окружность (рис. 111).

Изменяя положение точки R на оси абсцисс, подбираем значение zt при котором вычерчиваемая линия проходит через начало координат. Затем останавливаем анимацию точки Z в тот момент, когда точка F совпадёт с началом координат. Положение точки Z будет соответствовать кор-

Рис. 111.

нк) уравнения az + b = 0, то есть z = Это даёт ещё один способ

а

деления.

Мы нашли образ центральной окружности z = г при линейном отображении. Читателю предлагается построить образ нецентральной окружности, а также образ прямой при этом отображении.

Отметим, что умножение всякого комплексного числа г на фиксированное комплексное число а задаёт отображение 2 —* az, которое является последовательным выполнением сначала «растяжения» комплексной плоскости в а раз (гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом растяжения к = |а|), а потом поворота вокруг начала координат на угол а = arga. Каждое из этих преобразований, в частности, сохраняет углы между прямыми.

Напомним, что углом между кривыми /х и I2, пересекающимися в точке Л/, называется угол между касательными к этим кривым, проведёнными из точки М. Преобразование плоскости называется конформным, если при этом преобразовании сохраняются углы между кривыми. Таким образом, преобразование, задаваемое произвольным многочленом первой степени az + 6, является конформным отображением.

Квадратичная функция на комплексной плоскости

Построим образ окружности z = г при отображении/^) = az2+bz+c на комплексной плоскости. Технологию построения определяет равенство az2 4- bz + с = (az 4- b)z 4- с.

Рис. 112.

Рис. 113.

  • 1) Строим выражение az + 6 (см. построения рис. 111). Убираем лишние вспомогательные линии и получаем рисунок 112.
  • 2) Для нахождения произведения (az + b)z повторяем построения рисунка 111. В результате получаем точку U (рис. 113).
  • 3) Строим точку С, изображающую число с, и строим сумму (az+b)z+с, складывая соответствующие векторы по правилу параллелограмма. Получаем искомую точку V. Построение закончено.

Заставляем точку V оставлять след и включаем анимацию точки Z.

Наблюдаем как точка V, оставляя след, вычерчивает соответствующую кривую (рис. ИЗ).

Чтобы с помощью построенного живого чертежа найти корни многочлена az2 + bz 4 с, достаточно подобрать такое положение точки R на оси абсцисс и такое положение точки Z на окружности, при которых точка V совпадёте началом координат. Рассмотрите конкретное квадратное уравнение, установите в соответствующие места точки, изображающие его коэффициенты, и графически решите уравнение.

Многочлен третьей степени на комплексной плоскости

Продолжим построения рисунка ИЗ и построим образ окружности z = г на комплексной плоскости при отображении, задаваемом функцией у = az3 + bz2 + cz + d= ((az + b)z + c)z+d()Yc. 114). Линии построения спрятаны. Шаги построения можно просмотреть на экране компьютера.

Продолжая, аналогично можно построить многочлен четвертой степени у = azx 4 bz3 4 cz2 4 dz 4 m = = (((az 4 b)z 4 c)z 4 d)z 4 m.

Рис. 114.

По аналогии постройте точку, вычерчивающую график многочлена четвертой степени.

Выше мы находили образ центральной окружности при отображении, заданном многочленом. Читателю предлагается найти образ нецентральной окружности при этом отображении. Постройте образ прямой, проходящей через начало координат, при линейном отображении f(z) = az + b.

На рисунке 115 построены образы вертикальной прямой, проходящей

через действительную точку А, при отображениях комплексной плоскости, задаваемых многочленами u = az + b,v = az2 + bz + с и w = az3 + bz2 + ez + d.

Построение (рис. 115).

Рис. 115.

  • 1) Кнопкой «Комплексное число» отмечаем точки — комплексные числа а, 6, с, d.
  • 2) Ha оси абсцисс отмечаем точку А, проводим через неё вертикальную прямую и отмечаем на ней комплексное число z.
  • 3) Строкой ввода строим точки и = az + byv = az2 + + с и w = az3 + 6.г2 + сг + of. Построение закончено.

Заставляем точки и, v, w оставлять следы и задаём анимацию точки z. Докажите, что точка и вычерчивает прямую, а точка v вычерчивает параболу. Пересекутся ли ветви кривой, вычерчиваемой точкой w?

По аналогии рассмотрите многочлен четвертой степени на комплексной плоскости.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >