Анимационно-графическое нахождение корней многочленов

Нахождение корней многочлена в алгебраической форме

Решим графически уравнение г3 - 3z2 + г -I- 5 = 0 в комплексных числах.

Построение (рис. 116).

Рис. 116.

  • 1) На оси абсцисс отмечаем точку X, изображающую действительное число ху проводим через неё вертикаль и на ней отмечаем комплексное число 2.
  • 2) Строкой ввода строим точку w = z3 — 3z2 + 2 + 5. Построение закончено.

Заставляем точку го оставлять след и задаём анимацию точки г. Для «отлавливания» корня данного уравнения сначала подбираем положение точки X = (ж,0), при котором точка w проходит через начало координат, а затем включаем анимацию точки z(z = x + yi) и останавливаем её в тот момент, когда точка w совпадёт с началом координат. Положение точки 2 укажет искомый корень. Значение 2 находим на панели объектов. На рисунке 116а обнаружен первый корень z = —1, а на рисунке 1166 — второй корень 2-2 = 2 + г, а значит есть и третий сопряжённый корень 2з = 2 - г.

Нахождение корней многочлена в тригонометрической форме

Решим то же уравнение z3 - 3z2 + 2 + 5 = 0.

Построение (рис. 117).

  • 1) Строим точку О = (0,0), на оси абсцисс отмечаем точку R, изображающую модуль г искомого корня 2 = г (cos а + i sin а).
  • 2) Проводим окружность с центром в точке О, проходящую через точку R, и на ней отмечаем комплексное число 2.
  • 3) Строим точку w = 23 - З22 + 2 + 5 (строкой ввода). Построение закончено.

Заставляем точку w оставлять след и задаём анимацию точки 2. На-

Рис. 117.

блюдаем, как точка w своими следами вычерчивает непрерывную замкнутую линию. Сначала «отлавливаем» модуль искомого корня: устанавливаем точку R так, чтобы кривая прошла через начало координат. Затем включаем анимацию точки г (или перемещаем точку г вручную) и останавливаем анимацию в тот момент, когда точка w окажется в начале координат. Положение точки г укажет искомый корень. На рисунке 117а «пойман» корень z = -1. На рисунке 1176 с точностью до третьего знака установлено R = (2.236,0) (на самом деле г = /б). Точка w находится в начале координат. Измеряем угол в радианах ZROz = 0.464 и пишем приближённый ответ: = 2.236(cos0.464—г sin 0.464). Сопряжённый корень

гз = 2.236(c.os0.464 -И sin 0.464). На панели объектов находим Z2 = 2 — г,

2з = 2 + %.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >