Общий случай нахождения корней многочлена

Теперь рассмотрим общий случай уравнения az3 + bz2 + cz + d = Ос комплексн ы ми коэффициснта м и.

Построение (рис. 118).

  • 1) Отмечаем начало координат О как точку пересечения осей, на оси абсцисс отмечаем точку /?, которая будет изображать zy проводим окружность с центром в начале координат, проходящую через точку R, нажимаем кнопку «Комплексное число» и строим на окружности точку г.
  • 2) С помощью кнопки "Комплексное число'отмечаем на плоскости точки а, 6, с и d — коэффициенты данного многочлена, а затем строкой ввода строим точку w, изображающую число w = az3 + bz2 + cz + d. Построение закончено.

Заставляем точку w оставлять след и задаём анимацию точки г. 11ри

Рис. 118.

движении точки 2 по окружности точка и оставляя след, вычерчивает непрерывную замкнутую линию (рис. 115). В нашем случае уравнение имеет вид (1.523 + 0.731г)г3 + (1.748 - 0.749г)г2 + (-1.095 + 1.21г> + + (0.577 + 0.705г) = 0.

Найдем графически корни многочлена. Перемещением точки R(r,0) добиваемся, чтобы кривая, которую вычерчивает точка w, проходила через начало координат.

Рис. 119.

При г = 0.436 включаем анимацию точки 2 и выключаем её в тот момент, когда точка w попадёт в начало координат. На панели объектов читаем первый корень z = -0.153 - 0.409г (рис 119). При г = 0.69 "от- лавливаем"второй корень 22 = 0.69 (рис. 120). Наконец, при г = 1.7956 находим третий корень 23 = -1.279 + 1.261г (рис. 121). Понятно, что все три корня найдены приближённо.

Совмещая точку а с началом координат, получите график квадратного

Рис. 120.

трёхчлена, придумайте и решите квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Построенный живой чертеж 118 позволяет графически решать любое уравнения вида az3+bz2+cz+d = 0. В качестве примера решим уравнение 2 z3 + z2 + Sz — 1 = 0.

Рис. 121.

Устанавливаем точки А, В, С, D соответственно значениям а = 2, b = 1, с = 3, d = -2. Затем подбираем положение точки R, при котором вычерчиваемая линия проходит через начало координат, и подбираем положение точки Z, при котором точка W, вычерчивающая кривую, совпадает с началом координат. На рисунке 122 при г « 1.41 обнаружен корень zi « -0.5 + 1.32а, а значит, сопряжённое число Z2 ~ —0.5 - 1.32г также будет корнем, что можно проверить, дождавшись этого значения переменной г. На рисунке 123 при г = 0.5 имеем действительный корень

2з = 0.5.

Рис. 122.

Рис. 123.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >