Корни из комплексного числа

Инструмент для нахождения корней изданного комплексного числа

Пусть дано комплексное число а и натуральное число п. Корни п-й степени из комплексного числа а есть в точности корни уравнения zn = а, или нули функции f(z) = z11 — в, то есть такие значения переменной 2, при которых 2Па = 0. Одновременно из равенства zfi = а следует, что 12о|п = а = га. Таким образом, модуль искомого корня zq является корнем уравнения хп = |а|, или нулём функции действительного переменного д(х) = хп - а. Строим график этой функции на координатной (действительной) плоскости и точка пересечения графика с осью абсцисс даст искомое значение |z0|. Таким образом, все корни п-й степени из комплексного числа а лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом zq|. Строим эту окружность и клавишей «Комплексное число» ставим точку 2 на этой окружности. Для любой точки г окружности z = zo. Строкой ввода строим число w = zn - а. Отсюда w + а = zn и |ге + а| = zn = |zo|n = М- Таким образом, w + а = а. Отсюда делаем вывод, что при анимации точки г по окружности точка w, оставляя след, вычертит окружность с центром в точке и радиусом а. Следовательно, эта окружность проходит через начало координат. Но если при некотором значении переменной z = z точка w попадёт в начало координат, то Zi а = 0 и Zi = а, а значит z является искомым корнем п-й степени изданного комплексного числа а.

Реализуем эти теоретические соображения и в качестве примера изготовим инструмент для нахождения корней третьей степени из данного комплексного числа а.

Построение (рис. 124).

Рис. 124.

  • 1) С помощью клавиши «Комплексное число» строим данное комплексное число а.
  • 2) Отмечаем начало координат О и проводим окружность с центром в начале координат, проходящую через точку а. Отмечаем точку В пересечения этой окружности с осью абсцисс.
  • 3) Командой гп = х(В) вводим параметр га, равный абсциссе точки В. Затем строим график функции д(х) = х3 - га и отмечаем точку С пересечения графика функции с осью абсцисс.
  • 4) Проводим окружность с центром в начале координат, проходящую через точку (7, и с помощью клавиши "Комплексное число"строим точку z на этой окружности.
  • 5) Строим точку w = z3а. 11 о строение прибора закончено.

Заставляем точку w оставлять след и задаём анимацию точки г. Точка

w (согласно с теорией) вычертит окружность, проходящую через начало координат. В то время, как точка г сделает один оборот по своей окружности, точка w трижды побывает в начале координат. Каждый раз, как точка w попадает в начало координат, мы останавливаем анимацию точки z и отмечаем новой точкой положение точки г, которое будет соответствовать искомому корню. Например, при первом попадании точки w в точку О мы, остановив анимацию, строкой ввода строим точку Zq с координатами точки z. Так появляются точки Zo, Zi, Z-2, изображающие искомые корни третьей степени из данного комплексного числа а. Теперь мы можем переместить точку а в другое место, соответствующее новому значению данного числа а, и, включая анимацию, «отловить» корни третьей степени из этого числа.

Корни данной степени из единицы

Корни седьмой степени из единицы есть в точности корни уравнения z7 - 1 = 0. Поскольку z1 - 1 = (z - 1 )(z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z 4* 1), то корни седьмой степени из единицы исчерпываются единицей и шестью корнями уравнения z6 + z5 + z4 4- z3 + z2 + z + 1 = 0, то есть нулями функции f(z) = z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + 2 + 1. Читателю предлагается построить график данной функции и «отловить» искомые корни.

Построим корни седьмой степени из единицы на основе геометрического моделирования операции возведения в степень (рис. 125,126).

  • 1) Отмечаем начало координат О, единичную точку Е оси абсцисс, строим единичную окружность и отмечаем точку Z на ней.
  • 2) Строим окружность с центром в точке Z, проходящую через точку Е, и отмечаем точку Z-2 пересечения построенной окружности с единичной окружностью. Затем строим окружность с центром в точке Z2, проходящую через точку Z, и отмечаем точку Z3 пересечения построенной окружности с единичной окружностью. Аналогично появляются точки ^4 - Zj.
  • 3) Передвигаем точку Z по окружности, добиваясь, чтобы точка Z7 совпала с точкой Е. Построение закончено. Точки Е, Z, Z2 — Z7 изображают корни седьмой степени из единицы (рис. 126).

Рис. 125.

Рис. 126.

В связи с предложенным способом построения корней седьмой степени из единицы напомним, что их нельзя построить циркулем и линейкой.

Читателю предлагается в среде GeoGebra на экране построить анимационный рисунок для деления данного угла на 9 равных частей ( эта задача также неразрешима циркулем и линейкой).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >