Дробно-линейные отображения комплексной плоскости

Рассмотрим дробно-линейную функцию f(z) = где a,b,c,d

cz 4- а

фиксированные комплексные числа и ad — Ьс^О. Найдем образы прямых и окружностей при этом отображении комплексной плоскости.

Образы окружностей и прямых

Построение (рис. 127).

Рис. 127.

  • 1) Строим начало координат О, точку R на положительном луче оси абсцисс, проводим окружность с центром в точке О, проходящую через точку R, и кнопкой «Комплексное число» ставим точку z на окружности.
  • 2) Кнопкой «Комплексное число» ставим точки а, 6, с, d, а затем строкой ввода строим точку, соответствующую комплексному числу

w = az + b Построение закончено. cz + d к

Заставляем точку w оставлять след и задаём анимацию точки z. Наблюдаем как точка w вычерчивает образ центральной окружности. Останавливаем анимацию, отменяем команду оставлять след точки w, передвигаем точку R в новое положение, восстанавливаем команду оставлять след точки w и включаем анимацию. Получаем образ новой центральной окружности. На рисунке 128 точка w вычерчивает прямую при R =

= (0.92,0), окружность нал прямой при R = (0.08,0) и окружность под прямой при R = (1.28,0).

Аналогично задайте некоторое дробно-линейное отображение и постройте образ нецентральной окружности.

Рис. 128.

Рис. 129.

Опишите построения на рис. 128, где прямая преобразуется в окружность, и на рис. 129, где прямая преобразуется в прямую.

Известно, что при дробно-линейном отображении всякая окружность преобразуется либо в окружность, либо в прямую и всякая прямая преобразуется либо в прямую, либо в окружность.

Конформность дробно-линейных отображений

Продемонстрируем на экране сохранение углов между прямыми при дробно-линейном отображении. Построение (рис. 130).

Рис. 130.

  • 1) Отмечаем на осях точки А, В, С, D и строим прямые и CD. Клавишей «Комплексное число» на прямой АВ отмечаем точку z, а на CD — точку Z2.
  • 2) Клавишей «Комплексное число» отмечаем точки a,b,c,d, а затем строкой ввода строим точки v = (az+b)/(cz+d) и w = (az-2+b)/(cz2+d).
  • 3) Заставляем точки v и w оставлять след и задаём анимацию точек z hz2.B результате точки v и w вычерчивают окружности — образы прямых

АВ и CD при дробно-л и ней ном отображении г —> а " + ^.

  • 4) Клавишей «Окружность по трем точкам» отмечаем на вычерченных окружностях по три точки. Прячем точки, по которым построены окружности.
  • 5) Отмечаем точку пересечения построенных окружностей и проводим касательные к окружностям. Основные построения закончены.

Теперь сравниваем угол между данными прямыми АВ и CD с углом между касательными. Видим, что эти углы равны. Ниже конформность дробно-линейных преобразований будет доказана математически.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >